3.闭区间上连续函数性质的证明

§3 闭区间上连续函数性质的证明( 4 时 )

一. 有界性:

命题1 , 在上.

证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.

证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.

证法三 ( 用有限复盖定理 ).

二.最值性:

命题 2 , 在上取得最大值和最小值.

( 只证取得最大值 )

证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.

三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.

命题3 ( 零点定理 )

证法一 ( 用区间套定理 ) .

证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.

令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证

, ( 为此证明且 ). 取>且.

由在点连续和, ,

. 于是. 由在点连续和,

. 因此只能有.

证法三 ( 用有限复盖定理 ).

四.一致连续性:

命题4 ( Cantor定理 )

证法一 ( 用区间套定理 ) .

证法二 ( 用列紧性 ).

二.实数基本定理应用举例：

例1设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果

,

, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )

证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )

设集合. 则, 不空;

,

有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设, 则.

下证.

ⅰ）若, 有; 又, 得.

由递增和, 有, 可见. 由,

. 于是 , 只能有.

ⅱ）若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列

, ↘,. 由递增, 以及, 就有式

对任何成立 . 令, 得

于是有.

证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当

或

时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分

点为. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会

出现这种情况) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间

. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对

任何,有.

现证.

事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有

.

令, 得于是有.

例2设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有

,

. 试证明: 方程在区间内有实根 .

证构造区间套,使.由区间套定理,, 使对,

有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗

和↘,, 有

.

注意到在点连续，由Heine归并原则, 有

,

, . 为方程在区间内的实根.

例3试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .

证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:

把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区

间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .

依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对, 有

. 当然有. 但对有而

, . 矛盾.

习题课（ 4 时）

一．实数基本定理互证举例：

例4用“区间套定理”证明“单调有界原理”.

证设数列递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上界. 易见

在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取

使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数

列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .

例5用“确界原理”证明“区间套定理”.

证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个

为数列的上界. 由确界原

理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .

设, .易见有和.

由，.

例6用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.

证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对

, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .

例7用“确界原理”证明“聚点原理”.

证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个.

易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界

中大于的点有无穷多个; 由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在

内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .