9.2常数项级数的审敛法

n
因为p 1, 根据极限审敛法，
1
nn n n 1
发散.
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法 ) u n 1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
例5. 讨论级数
的敛散性 .
n u n 1 ( n 1) x lim lim x 解: n 1 n n x n u n
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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练习：习题9-2 题2（4）
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 )
u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u 2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )

rn un1 un 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n 1 1 1) 1 (1) 2 3 4 n 1 1 1 n 1 1 2) 1 (1) 2! 3! 4! n!
收敛
收敛
1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n 1 1 1 n 1 n (n 1) n (n 1)
vn 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2 vn un
n 1
n 1
un

n 1
un , 2 vn 收敛
n 1


也收敛
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设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
n 1 10n 1 1 n 1 n 10 n n 10
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上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛

三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第九章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 dx p (n 1) p 1 n p 1 n 1 x p 1
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 n p 1 n p p 1 1 p 1 p(1 1) p 1 1 的部分和 p 1 2 n 22 3 (n 1) n
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u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散 n u n . 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足 un 1 比值审敛法 lim u n n 根值审敛法 lim
n n
un
比较审敛法 1 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法
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1
习题9-2题1（2）（4）
1.2 1 , 2 n n n 1 1 n发散， n 1

根据比较审敛法，
n 1
1 n2 n
发散；
1.4 因为 t an


2
n


2
n
,
1 2n 是等比级数，q 2 1,1, 2n 是收敛级数， n 1 n 1
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 . *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S .
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sin 1 ～ n

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1
的敛散性. ln(1 12 ) ～ 12 例4. 判别级数 ln 1 2 n n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 收敛 . n2 n 1
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n 0l un 发散 lim n p u n l n p 1, 0 l un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数,
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
例7. 证明下列级数绝对收敛 : sin n n2 (1) 4 ; (2) (1) n n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
n
为正项级
证明提示: lim
n
n
un , 对任意给定的正数

存在 N Z ,
n un
即
1
1
( ) n un ( ) n
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
24 n tan
n 1

2
n 1
,
n 1 tan
lim
n

2
n2
n tan

2 n 1
n2 n 1 1 2 lim lim 1, n n n 2 2 n 1

级数收敛.
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法 设 ) 数, 且 lim n u n , 则
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)

2
1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn

根据比较审敛法， t an
n 1


2
n
收敛.
9-2习题1 （1）（3）极限审敛法
n n 1 1.1 lim n lim , n 3n 1 n 3n 1 3 1 n p 1, 是发散的 . 2 n 1 3n 1
13
1 lim n lim n 1, n n n n n
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)

n
lim un 0 ,

1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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(2) 令
u n 1 lim n 来自百度文库 u n
(n 1) 2 e n 1 lim n n2 en
1 n 1 1 lim 1 n e n e
2



n 1
2 n2 n (1) n 收敛, 因此 (1) n n 绝对收敛. e en n 1