5.2 相似矩阵和相似矩阵的性质

2、相似矩阵的性质 性质
若A 与B 相似，则 （1）A 与 B 有相同的特征多项式、特征值和迹；
（ 2） A B ; （3） r( A) r( B) ; （4） A 与 B 也相似，其中 m为正整数. 1 且方阵多项式 f ( B) P f ( A) P 即 f ( B) f ( A) （ 5）
(2) 对 A 的每个特征值 i , 求(i E -A) x = 0
P (11,12 ,,1n1 ,21,22 ,,2n2 ,,s1,s 2,,sns ),
=.
n1 n2 ns
则
P-1AP
6 0 4 例 设A 3 5 0 3 6 1 试证A可以对角化，并求P与对角矩阵Λ ,使 A PP 1。 4 6 0
m m
A B ;
1 1 * *
T
T
（6） 若A可逆，则 A B , A B .
例 设 A～ B ，其中
2 0 0 1 0 0 A 0 a 2 , B 0 2 0 , 0 2 3 0 0 b
求a, b 的值。
矩阵可对角化的定义和条件
解 E A
3 3
5
6
0 1 2 1
2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
0 1 2 0 0 0 0 , 6 0 6 0 0 0 0 相应的方程组为 x1 2 x2 0, 得基础解系
定义 若n阶矩阵A 与 n阶对角矩阵 相似, 则称
A 可以对角化。 定理
n 阶方阵A 可对角化的充要条件是 n阶方阵 A有 n个不同的特征值，
来自百度文库
A 有 n 个线性无关的特征向量.
定理 如果
则 A 可对角化.
矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下： （1）求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特
0 1 0 0 0 . 2
1 2 若令P 3 , 1 , 2 1 1 1 0
0 0 , 则 P 1 AP 1
2 0 0
0
0 0
1
1 0
.
（3）若 P1 AP , 有 A PP 1 ,
T
E A X 0, 当1 2 1时，相应的齐次方程组为
3 EA 3 3 6
1 2,1, 0 , 2 0, 0,1 .
T
当3 2时， 2E A X 0, 相应的齐次方程组为
6 2E A 3 3 6 6 6 0 1 0 0 3 0
Λ =diag(1, 1, -2)。
注:（1）相似的对角矩阵不唯一，比如Λ =diag(1, -2 ,1)。
（2）相似变换矩阵P不唯一，比如
2 0 1 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 , 则有 P 1 AP 0 0 1 1 0
0 1 0
1 1 , 0
x1 x3 0, 相应的方程组为 x2 x3 0,
得基础解系
3 1,1,1 .
T
则
2 0 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 , 0 1 1
1 且有 P 1 AP 0 0 0 1 0 0 0 . 2
A100 P100 P 1.
5.2 相似矩阵和相似矩阵的性质
1、相似矩阵的定义
定义 设 A , B 为 n 阶方阵, 若存在n 阶可逆矩阵P，使 P-1AP = B ,
则称矩阵 A与矩阵 B相似，记作 A～B. 具有下面的性质: (1) 反身性: 一个矩阵与它自身相似; (2) 对称性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B , 则矩阵 B 也相似于矩阵 A; (3) 传递性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B , 而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.
征值 1 , 2 , · · ·, s ，它们的重 数分别为 n1, n2 , · · ·, ns , 有 n1 + n2 + · · ·+ ns = n.
的基础解系, 设为 i1 , i 2 , , in ( i 1, 2,, s ) . i
Λ diag( λ1 , , λ1 , λ2 , , λ2 , , λs , , λs ),