环路定理、电势
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
静电力的功=静电势能增量的负值 a点电势能 E pa 试验电荷 q0处于 a b点电势能 E pb
b a
所以
b
则ab电场力的功 Wab q0 E dl Ep E pa E pb
取 E 0
E pa Wa q0 E dl
a
试验电荷
q0 在电场中某点的电势能，在数值上
d
q 6 0 R
q
a
0
q
b
c
R
R
R
② 将单位负电荷由
O电场力所作的功
AO u uo 0
11-4 场强与电势的关系
一、电势的图示法：等势面
1、等势面：电势相等的点构成的曲面。
+
点电荷的等势面
匀强电场的等势面
电偶极子的等势面
+
2、等势面的性质：
电场线与等势面处处正交； a,b为等势面上任意两点,移动q,从a到b
讨论：
大小
q 0 V 0 r V r V 最小 q 0 V 0 r V r V 最大
对称性: 以 q 为球心的同一球面上的点电势相等.
（2）电势叠加原理 场源为q1 、q2 qn的点电荷系 根据场强叠加原理场 中任一点的场强：
E E1 E 2 ....... E n
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理
q(r2 r1 ) VP V1 V2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r1r2 q q
Y
P( x, y)
r2
O
r l
r2 r1 l cos r1 r2 r
q
2
q
r r1
q
l cos V 4 0 r 2
Wab q0 ( E1 E 2 E n ) d l
a b
q0 E1 d l q0 E 2 d l q0 E n d l
a a a
b
b
b
q0 q i 1 1 W1 W2 Wn ( ) rib i 1 4 0 ria
其中
X
l
V 1 4 0 px ( x2 y )
3 2 2
r x y
2 2
2
cos
x x2 y2
例2、求均匀带电圆环轴线上 的电势分布。已知：R、q
Y
dl
解:方法一 微元法（叠加）
dV
dq 4 0 r
R
r
x
P
O
X
dl 4 0 r
有介质时（如图）
内
Ｒ
ｑ U外 4 外r
ｑ U内＝ 4外R
外
rR
r R
$带电球壳是 个等势体，表 面是个等势面
例３：求无限长均匀带电直线的电场中电势分布 解题思路:
电荷线密度
r p 已知场强为： E 方向垂直于带电直线。 2 0 r p o ln U p E d l ｒ dr ro 2 0 r 20r
③求该过程中电势能的改变
A 0 W W0 28.8 10 7 0
电势能
q (A)． 4π 0 a
q (C) ． 4π 0 a
在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为
q (B) ． 8π 0 a q (D) ． √ 8π 0 a
+q
2. 用电势定义式求电势
Uａ E dl ａ
(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求 出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便）
例1：如图，求带电量为ｑ的均 2 匀带电球体在空间的电势分布。 qr 解题思路： ｒＲ ＝ R1 r R 2 : Ｅ2＝ １: Ｅ １ 3
例4：求半径为R、带电量为ｑ的球面在球心O处 dq q 产生的电势。 dU dq U
4 0 r
4 r
0
4 0 R
例5：如图，若以B作为电 势零点，求C点的电势。
q
r1
B
r2
C
A
解题思路：
两点之间的电势差与电势零点的选取无关。
U CB U C 0 ( 选B点为电势零点） ｑ ｑ ＝ － （选无穷远处为电势零点） ４ 0 ｒ １＋ｒ ４ｒ ２ 0 １
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
Wa E dl 定义电势 Va q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
定义电势差
Wa q0 E dl
a
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
电场中任意两点 的 电势之差（电压） b U ab Va Vb E dl E dl E dl
a b
a
Va Vb
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移 到b时，电场力所做的功。 Wab q0 (Va Vb )
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
d
E
等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。 规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
点 电 荷 的 等 势 面
=……
例3： 如图：(1)计算O点的电势和 q
电场强度. (2) 将试探正电荷ｑ０从无穷远处 q 移到O点，电场力作的功。 (3)电势能的增量。 解题思路： 由对称性得：EO＝0
q
ｒ ｒ ｒ０ｒ
q
Ｖ ｏ 4
W0
q
4 0 r
q
0 r
qq0 0 q0Vo ＝－W 0 r
其中 dl cos dr
则
b
q
r0
raபைடு நூலகம்
rb dr r dl
r
a
E
dW q0 Edr
a
W q0 Edr
qq0 1 1 qo dr ( ) 2 40 r 40 ra rb ra q
rb
电场力作功,仅与始末位置有关,与路径无关。
2. 点电荷系电场中电场力作的功
U
p0 p
ｒ 0 E dl ｒ
r0 ln 2 0 r •由此例看出，当电荷分布扩展到
dr 2 0 r
无穷远时，电势零点不能再选在 无穷远处。
3. 利用已知电势结果加电势叠加原理
例1 : 求均匀带电的圆盘在中心轴线上一点所 产生的电势 提示：将圆盘看成许多圆环组成 例3 :如图,半径均为R的两个球体 相交,球心距离o1o2=d，不重叠部 分均匀带电，电荷体密度左侧 为 ＋ ，右侧为 － 。求距离o2 为r的P点的电势。
U1
r
R1 R2 E dl E1 dl E2 dl E3 dl
r R1 R2
例2: 求半径为R，带电量为 q 的均匀带电球 面的电场中的电势分布。
ｑ U外 真空时： 4 0 r rR
U内＝ ｑ 40 R rR
电势： V E dl ( E1 E2
En ) dl
E1 dl E 2 dl ....... E n dl P P P
P
P
V1 V2 ...... Vn Vi
i 1
n
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和.
(标量叠加)
若电荷连续分布
VP
V
dq 4 π 0 r
d q d V d q r dE
q P
注意：
1、r 是dq到场点的距离 2、该公式利用了点电荷电势 V q / 4 π r ，这一 0 结果已选无限远处为电势零点，即：使用此公式的前 提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.
a
b
ua ub
Aab
b a
Aab q( ua ub ) 0
q0 0 E 0 dl 0
沿电力线移动 q
q0 E dl 0
2
u
电场线的方向指向电势降落的方向。
c
uc ud
Acd Wc Wd q( uc ud ) 0
q0 E dl q0 E dl 0
adb
acb
bda
a
d
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。
q0 0
E dl 0
静电场的 环流定理
在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积 分（环流）等于零。
四、电势能
保守力的功 = 相应势能的减少
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算 1. 用点电荷电势公式加电势叠加原理求电势
（1）点电荷电场中的电势
距q为r（P点）的场强为
q
r0
P
E
q
由电势定义得：
VP E dl
P r
4 0 r
q
2
r0
dr q
r
4 0 r
4 0 r 2
RA r RB
RB
uAB uA uB
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 RA RB RA
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
q q Aoc uo uc 0 ( ) 4 0 3 R 4 0 R
11－3 静电场的环路定理 电势
一、保守力作功的特点： 1、只与始末位置有关，与中间路径无关。 2、沿闭合路径，保守力作功为零。 例如：重力、弹性力都是保守力。
二、电场力的功
1. 点电荷电场中电场力作的功 在点电荷q的电场中移动试验电 荷q0, 电场力作的元功：
b
dW F dl q0 E dl q0 Edl cos
VP dV
4 0
2 R
Z
方法二
定义法
qx
由电场强度的分布
0
dl 2 R E 3 2 2 2 4 0 ( x R ) 4 0 r 4 0 r
V
xp
q R2 x 2
Edx 4
xp
qxdx
2 2 3 2
0 (x R )
n
电场力作 功,仅与始 末位置有 关,与路径 无关。
静电场力做功与路径无关, 静电场是保守力场。
三、静电场的环流定理
q0沿闭合路径 a c b d a 一周电场力所作的功 c A q0 E dl q0 E dl q0 E dl
b
acb
P
M
a
q 4π 0 a
a
思 路
P 点处相对于 +q 的电势为
q M点处相对于 +q 的电势为 8π 0 a q M点相对于P 点处的电势差为 8π 0 a
(本题选自静电场练习三)
一半径为 R 的均匀带电圆环，电荷线密度为
． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心 O
/ (20) ． 点的电势U＝___________
＋
－
r
P
Ｏ Ｏ2
1
提示:将相交部分看成带 ＋电荷。
课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷
4.0 10 C
①求
9
r=5cm
uo
q1
q2
O
u 4
4 0 r
q1
28.8 10 V
2
r
q3
q4
②将 q0 1.0 10 c 从
9
O 电场力所作的功
A 0 q0 ( u uO ) q0 ( 0 28.8 10 2 ) 28.8 10 7 J
思路:
标量叠加
dq 40 R q 40 R
U dU
q 2 R
U 2 0
(本题选自静电场练习三)
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面间的电 势差。已知+q 、-q、RA 、RB 解: 由高斯定理
q q
RA
0
E
r RA r RB
2
q 4 0 r
r R 2 : Ｅ3＝
r
R1
1
q
q
R2
3
q
2
41R
r
4 3r R2 U2 E dl E2 dl E3 dl
r R2
U3
E3 dl
r
q 4 3r
2
4 2 r 2
dr
q
4 3r
b a
所以
b
则ab电场力的功 Wab q0 E dl Ep E pa E pb
取 E 0
E pa Wa q0 E dl
a
试验电荷
q0 在电场中某点的电势能，在数值上
d
q 6 0 R
q
a
0
q
b
c
R
R
R
② 将单位负电荷由
O电场力所作的功
AO u uo 0
11-4 场强与电势的关系
一、电势的图示法：等势面
1、等势面：电势相等的点构成的曲面。
+
点电荷的等势面
匀强电场的等势面
电偶极子的等势面
+
2、等势面的性质：
电场线与等势面处处正交； a,b为等势面上任意两点,移动q,从a到b
讨论：
大小
q 0 V 0 r V r V 最小 q 0 V 0 r V r V 最大
对称性: 以 q 为球心的同一球面上的点电势相等.
（2）电势叠加原理 场源为q1 、q2 qn的点电荷系 根据场强叠加原理场 中任一点的场强：
E E1 E 2 ....... E n
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理
q(r2 r1 ) VP V1 V2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r1r2 q q
Y
P( x, y)
r2
O
r l
r2 r1 l cos r1 r2 r
q
2
q
r r1
q
l cos V 4 0 r 2
Wab q0 ( E1 E 2 E n ) d l
a b
q0 E1 d l q0 E 2 d l q0 E n d l
a a a
b
b
b
q0 q i 1 1 W1 W2 Wn ( ) rib i 1 4 0 ria
其中
X
l
V 1 4 0 px ( x2 y )
3 2 2
r x y
2 2
2
cos
x x2 y2
例2、求均匀带电圆环轴线上 的电势分布。已知：R、q
Y
dl
解:方法一 微元法（叠加）
dV
dq 4 0 r
R
r
x
P
O
X
dl 4 0 r
有介质时（如图）
内
Ｒ
ｑ U外 4 外r
ｑ U内＝ 4外R
外
rR
r R
$带电球壳是 个等势体，表 面是个等势面
例３：求无限长均匀带电直线的电场中电势分布 解题思路:
电荷线密度
r p 已知场强为： E 方向垂直于带电直线。 2 0 r p o ln U p E d l ｒ dr ro 2 0 r 20r
③求该过程中电势能的改变
A 0 W W0 28.8 10 7 0
电势能
q (A)． 4π 0 a
q (C) ． 4π 0 a
在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为
q (B) ． 8π 0 a q (D) ． √ 8π 0 a
+q
2. 用电势定义式求电势
Uａ E dl ａ
(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求 出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便）
例1：如图，求带电量为ｑ的均 2 匀带电球体在空间的电势分布。 qr 解题思路： ｒＲ ＝ R1 r R 2 : Ｅ2＝ １: Ｅ １ 3
例4：求半径为R、带电量为ｑ的球面在球心O处 dq q 产生的电势。 dU dq U
4 0 r
4 r
0
4 0 R
例5：如图，若以B作为电 势零点，求C点的电势。
q
r1
B
r2
C
A
解题思路：
两点之间的电势差与电势零点的选取无关。
U CB U C 0 ( 选B点为电势零点） ｑ ｑ ＝ － （选无穷远处为电势零点） ４ 0 ｒ １＋ｒ ４ｒ ２ 0 １
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
Wa E dl 定义电势 Va q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
定义电势差
Wa q0 E dl
a
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
电场中任意两点 的 电势之差（电压） b U ab Va Vb E dl E dl E dl
a b
a
Va Vb
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移 到b时，电场力所做的功。 Wab q0 (Va Vb )
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
d
E
等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。 规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
点 电 荷 的 等 势 面
=……
例3： 如图：(1)计算O点的电势和 q
电场强度. (2) 将试探正电荷ｑ０从无穷远处 q 移到O点，电场力作的功。 (3)电势能的增量。 解题思路： 由对称性得：EO＝0
q
ｒ ｒ ｒ０ｒ
q
Ｖ ｏ 4
W0
q
4 0 r
q
0 r
qq0 0 q0Vo ＝－W 0 r
其中 dl cos dr
则
b
q
r0
raபைடு நூலகம்
rb dr r dl
r
a
E
dW q0 Edr
a
W q0 Edr
qq0 1 1 qo dr ( ) 2 40 r 40 ra rb ra q
rb
电场力作功,仅与始末位置有关,与路径无关。
2. 点电荷系电场中电场力作的功
U
p0 p
ｒ 0 E dl ｒ
r0 ln 2 0 r •由此例看出，当电荷分布扩展到
dr 2 0 r
无穷远时，电势零点不能再选在 无穷远处。
3. 利用已知电势结果加电势叠加原理
例1 : 求均匀带电的圆盘在中心轴线上一点所 产生的电势 提示：将圆盘看成许多圆环组成 例3 :如图,半径均为R的两个球体 相交,球心距离o1o2=d，不重叠部 分均匀带电，电荷体密度左侧 为 ＋ ，右侧为 － 。求距离o2 为r的P点的电势。
U1
r
R1 R2 E dl E1 dl E2 dl E3 dl
r R1 R2
例2: 求半径为R，带电量为 q 的均匀带电球 面的电场中的电势分布。
ｑ U外 真空时： 4 0 r rR
U内＝ ｑ 40 R rR
电势： V E dl ( E1 E2
En ) dl
E1 dl E 2 dl ....... E n dl P P P
P
P
V1 V2 ...... Vn Vi
i 1
n
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和.
(标量叠加)
若电荷连续分布
VP
V
dq 4 π 0 r
d q d V d q r dE
q P
注意：
1、r 是dq到场点的距离 2、该公式利用了点电荷电势 V q / 4 π r ，这一 0 结果已选无限远处为电势零点，即：使用此公式的前 提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.
a
b
ua ub
Aab
b a
Aab q( ua ub ) 0
q0 0 E 0 dl 0
沿电力线移动 q
q0 E dl 0
2
u
电场线的方向指向电势降落的方向。
c
uc ud
Acd Wc Wd q( uc ud ) 0
q0 E dl q0 E dl 0
adb
acb
bda
a
d
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。
q0 0
E dl 0
静电场的 环流定理
在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积 分（环流）等于零。
四、电势能
保守力的功 = 相应势能的减少
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算 1. 用点电荷电势公式加电势叠加原理求电势
（1）点电荷电场中的电势
距q为r（P点）的场强为
q
r0
P
E
q
由电势定义得：
VP E dl
P r
4 0 r
q
2
r0
dr q
r
4 0 r
4 0 r 2
RA r RB
RB
uAB uA uB
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 RA RB RA
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
q q Aoc uo uc 0 ( ) 4 0 3 R 4 0 R
11－3 静电场的环路定理 电势
一、保守力作功的特点： 1、只与始末位置有关，与中间路径无关。 2、沿闭合路径，保守力作功为零。 例如：重力、弹性力都是保守力。
二、电场力的功
1. 点电荷电场中电场力作的功 在点电荷q的电场中移动试验电 荷q0, 电场力作的元功：
b
dW F dl q0 E dl q0 Edl cos
VP dV
4 0
2 R
Z
方法二
定义法
qx
由电场强度的分布
0
dl 2 R E 3 2 2 2 4 0 ( x R ) 4 0 r 4 0 r
V
xp
q R2 x 2
Edx 4
xp
qxdx
2 2 3 2
0 (x R )
n
电场力作 功,仅与始 末位置有 关,与路径 无关。
静电场力做功与路径无关, 静电场是保守力场。
三、静电场的环流定理
q0沿闭合路径 a c b d a 一周电场力所作的功 c A q0 E dl q0 E dl q0 E dl
b
acb
P
M
a
q 4π 0 a
a
思 路
P 点处相对于 +q 的电势为
q M点处相对于 +q 的电势为 8π 0 a q M点相对于P 点处的电势差为 8π 0 a
(本题选自静电场练习三)
一半径为 R 的均匀带电圆环，电荷线密度为
． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心 O
/ (20) ． 点的电势U＝___________
＋
－
r
P
Ｏ Ｏ2
1
提示:将相交部分看成带 ＋电荷。
课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷
4.0 10 C
①求
9
r=5cm
uo
q1
q2
O
u 4
4 0 r
q1
28.8 10 V
2
r
q3
q4
②将 q0 1.0 10 c 从
9
O 电场力所作的功
A 0 q0 ( u uO ) q0 ( 0 28.8 10 2 ) 28.8 10 7 J
思路:
标量叠加
dq 40 R q 40 R
U dU
q 2 R
U 2 0
(本题选自静电场练习三)
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面间的电 势差。已知+q 、-q、RA 、RB 解: 由高斯定理
q q
RA
0
E
r RA r RB
2
q 4 0 r
r R 2 : Ｅ3＝
r
R1
1
q
q
R2
3
q
2
41R
r
4 3r R2 U2 E dl E2 dl E3 dl
r R2
U3
E3 dl
r
q 4 3r
2
4 2 r 2
dr
q
4 3r