轴力与轴力图

+
3
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P和 P 的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD
D
x
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程
X 0
N1 PA PB P PD 0 C
以 5 0 0 为界 29

5、无明显屈服现象的塑性材料
名义屈服应力：（0.2%残余应变）

0.2
0.2 ，即此类材料的失效应力。
0
0.2

bL
6、铸铁拉伸时的机械性能
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
0

30
二、压缩时材料的力学性能
d
h
31
ｂy---铸铁压缩强度极限； ｂy（4～6）ｂL
k P k

k P

P 则： p A
k
A：斜截面面积；P：斜截面上内力。
A cos 由几何关系： A

A A 代入上式，得： cos
P P p cos 0 cos 斜截面上全应力： p 0 cos A A
19
斜截面上全应力： p 0 cos 分解： p
③ 强度校核：
max 162MPa 170MPa
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
12
[例4] 简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径 d＝20 mm的钢材，载荷W=15 kN。 求当W移到A点时，斜杆AB横截面 应力(两杆的自重不计)。 解 (1) 受力分析 当W移到 A点时，斜杆AB受到的拉力最 大，设其值为Fmax。取A点为
力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。
一、拉伸时材料的力学性能
1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；标准 试件（P129，GB/T6397-1986）。
22
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
23
24
3、低碳钢试件的应力--应变曲线( -- 图)
安全因数可查设计手册。通常对同一材料按屈服应 力确定的安全因数要小于按强度极限确定的安全因数 ；塑性材料要比脆性材料的安全因数小。 36
§8-7 胡克定律与拉压杆的变形
一、拉压杆的变形及应变
a c
x
b d
1、杆的纵向总变形：
L L1 L
L
2、线应变： 单位长度的线变形。
3、平均线应变：
C
RC
N 4P max A d2 4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
N RA ④ 强度校核与结论：

max
131MPa 170 MPa
18
此杆满足强度要求，是安全的。
四、拉（压）杆斜截面上的应力
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：P=P P
当 = 90°时，
当 = 0, 90°时，
| |min 0
20
[例6] 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪 应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。 解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
P 410000 0 127 .4MPa 2 A 3.1410
n
Ni Li Ei Ai
39
3、单向应力状态下的胡克定律
(dx ) 1 N ( x ) 1 dx E A( x ) E
4、泊松比（或横向变形系数）
即 : E

或:
关于弹性模量E： ①由材料决定，表示材料抵抗变形的能力。 ②具有与应力相同的量纲，单位GPa。 ③在拉伸曲线上，其值为弹性阶段直线的斜率（tgɑ）。 ④EA表示杆件抵抗变形的能力。 40
变形规律试验及平面假设： 变形前 a c P a´ c´ b d b´ d´ P
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
10
拉伸应力：
P

N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。 公式的应用条件：
② 材料承受荷载的能力。
二、应力计算
1. 定义：由外力引起的内力集度，称为应力。
7
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集
度最大处开始。
2. 应力的表示： P M A
① 平均应力：
ΔP pM ΔA
② 全应力（总应力）：
ΔP dP p lim dA ΔA0 ΔA
2
轴力 轴向拉伸、压缩时，杆的内力与杆轴线重合，称为轴力， 用N 表示。 轴力的正负规定: N 与外法线同向，为正轴力(拉力) N与外法线反向，为负轴力(压力) 轴力图 N (x) 的图象表示。 ① 反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；
N
N
N
N
N>0 N<0
② 确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。 N P
14
(2) 求应力 斜杆AB横截面正应力为
FN Fmax 38.7 103 123 106 Pa 123MPa A A 202 106 4
15
[例5] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的 分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，
PL L A
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
N （x） N(x)
PL NL L EA EA
EA 称为杆的抗拉压刚度。
N ( x )dx (dx ) EA( x )
x
dx dx
L (dx )
L L
N ( x)dx EA( x)
内力在n段中分别为常量时
L

i 1
k
P P
p cos 0 cos
2

k
k

p sin 0 cos sin
0
2
P sin2

p


k

当 = 0°时， ( )max 0 (横截面上存在最大正应力)
( ) min 0 0 ( 45°斜截面上剪应力最大 ) 当 = ± 45°时，| |max 2
N ( x) max max( ) A( x)
11
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用 应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解：① 轴力：N = P =25kN
N 4P 4 25103 ② 应力： max A π d2 3. 0.0142 162MPa 14
32
§8-5 圣维南原理与应力集中的概念
一、 Saint-Venant原理：
离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷
作用方式的影响。
二、 应力集中（Stress Concentration）：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
33
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： P a b c P
q(x)
L x q O
自由端。 取左侧x段为对象，内力N(x)为： q(x)
N(x)
x
qL N –
kL2 2
1 2 N ( x) kxdx kx 2 1 2 N ( x)max kL 2 6
x 0
x
O
§8-3 杆件拉伸与压缩时的应力
P P
P
一、问题提出
P 内力大小不能衡量构件强度的大小。 强度：① 内力在截面的分布集度应力；
25
(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段) 1、op -- 比例段:
p -- 比例极限
2、pe --曲线段:
e -- 弹性极限
由于比例极限与弹性极限 通常很接近，因此工程上 常不作区分。
26
(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段)
e s --屈服段: s ---屈服极限
塑性材料的失效应力:s 。
L1 L L L L
37
P
a´ c´
x dx
b´ d´
P
L1 4、x 点处的纵向线应变： 6、x 点处的横向线应变：
dx lim x 0 x
5、杆的横向变形：
ac ac
ac ac ac
38
二、拉压杆的胡克定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
分离体，在不计杆件自重及
连接处的摩擦时，A点受力如 图 b)、c)所示。
13
根据平衡方程 Σ MC=0， 解得
Fmax sin AC W AC 0
Fmax
W sin
由三角形ABC求出
BC 0.8 sin 0.388 AB 0.82 1.92
故有
W 15 Fmax 38.7 kN sin 0.388
第八章 轴向拉伸与压缩
§8-1 引言
§8-2 轴力与轴力图
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向变细。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
1
杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图 a) 所示的悬臂吊车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力 作用，如图 b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图 c) 所示。
滑移线：
27
(三)、低碳钢拉伸的强化（硬化）阶段 (ｓｂ 段)
１、ｂ---强度极限
２、卸载定律：
３、冷作硬化： 加载时变形变 小，弹性极限提高
28
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
1、延伸率:
2、面缩率：
3、脆性、塑性材料
L1 L0 100 0 0 L0
A0 A1 100 0 0 A0

max


35
N max ② 设计截面尺寸： Amin [ ] ③ 许可载荷： Nmax A ; P f ( Ni )
许用应力 ·安全因数 ·极限应力
1、许用应力：
jx n
n>1
2、安全系数：
3、极限应力：

wenku.baidu.com jx
s， 0.2， b
8
③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
Δ N dN lim dA Δ A0 Δ A
p

M

b.位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
Δ T dT lim dA Δ A0 Δ A
9
三、拉（压）杆横截面上的应力
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
34
§8-6 失效、许用应力与强度条件
为了保证构件不发生强度破坏，并有一定安全余量，于是
得到拉（压）杆的强度条件。
max
N ( x) max( ) A( x )
其中：[]—许用应力， max—危险点的最大工作应力。 依强度条件可进行三种强度计算： ① 校核强度：
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
4
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
N2
B
PB
C
PC
D
PD
别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图 N 2P +
N3
C
PC
D
PD
N4
D
PD
5P
+ P
5
x
– 3P
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试 画出杆的轴力图。 解：x坐标向右为正，坐标原点在
许用应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
A
钢拉杆
q
C
B
8.5m
16
解： ① 整体平衡求支反力
q
HA A
钢拉杆
q
C
RA 8.5m
RB
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
17
② 局部平衡求 轴力：
q
HA A
HC
mC 0
③ 应力：
N 26.3kN
max 0 /2127.4/263.7MPa
127.4 (1 cos 2 ) (1 cos 600 ) 95.5MPa 2 2
127.4 sin 2 sin 600 55.2MPa 2 2
0
0
21
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能