角的轴对称性
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（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等。
辨一辨
A D O P E C B
如图，OC平分 ∠AOB，PD与PE 相等吗？
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边）， 然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，你能得出什么结论？
探究角平分线的性质
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
B
D
不必再证全等
C
思考：
已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
A
E
B
小结
拓展
回味无穷
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
B
根据角平分仪的制作原理怎样用 尺规作一个角的平分线？（不用角平 分仪或量角器）
N C O M E N A
C
E
O
B
M
用尺规作角的平分线的方法 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2 半径作弧．两弧在∠AOB
A
Ｍ
Ｃ
的内部交于Ｃ．
有一个简易平分角的仪器（如 图），其中AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE 就 是 ∠BAD的平分线，为什么？
A
证明：
在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） D DC=BC（已知） CA=CA（公共边） C ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形（第3课 时）
不利用工具，请你将一张用纸片做的角 分成两个相等的角。你有什么办法？
（对折） A C 再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
O
B
A
结论：
O B
C
角是轴对称图形，对称轴是角平分 线所在的直线.
对这种可以折叠的角可以用折叠方 法的角平分线，对不能折叠的角怎 样得到其角平分线？
D P E A C
B
(2)猜想: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
Fra Baidu bibliotek
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D A
C
P
E B
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（×）
A
B D C
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
√
A
角的两边的距离相等。
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等。
辨一辨
A D O P E C B
如图，OC平分 ∠AOB，PD与PE 相等吗？
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边）， 然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，你能得出什么结论？
探究角平分线的性质
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
B
D
不必再证全等
C
思考：
已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
A
E
B
小结
拓展
回味无穷
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
B
根据角平分仪的制作原理怎样用 尺规作一个角的平分线？（不用角平 分仪或量角器）
N C O M E N A
C
E
O
B
M
用尺规作角的平分线的方法 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2 半径作弧．两弧在∠AOB
A
Ｍ
Ｃ
的内部交于Ｃ．
有一个简易平分角的仪器（如 图），其中AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE 就 是 ∠BAD的平分线，为什么？
A
证明：
在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） D DC=BC（已知） CA=CA（公共边） C ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形（第3课 时）
不利用工具，请你将一张用纸片做的角 分成两个相等的角。你有什么办法？
（对折） A C 再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
O
B
A
结论：
O B
C
角是轴对称图形，对称轴是角平分 线所在的直线.
对这种可以折叠的角可以用折叠方 法的角平分线，对不能折叠的角怎 样得到其角平分线？
D P E A C
B
(2)猜想: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
Fra Baidu bibliotek
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D A
C
P
E B
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（×）
A
B D C
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
√
A
角的两边的距离相等。