流函数势函数(课堂PPT)

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Chen Haishan NIM NUIST
第六节 速度势函数和流函数
速度势函数 速度流函数 二维流动的表示
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一、速度势函数 Chen Haishan
NIM NUIST
① 定义(速度势函数的引入及存在条件)
如果在流体域内涡度为零,即: V 0
无旋流动;
否则,则称之为涡旋流动:V 0
流体运动
V V
•V 0
V 0
•V •V
V k
V
2
x
2
2
y 2
2
x
2
2
y 2
D
V k
u
y x v
x y
上式为大气动力学中广泛采用的形式。
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Chen Haishan NIM NUIST
课 后习 题
习题1-6-1 已知二维流速场为:

u ax by v cx dy
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Chen Haishan NIM NUIST
根据格林积分公式(平面曲线积分与路径无关的条件)可 知,满足无辐散条件下:
vdx udy 0
d x, y, t vx, y, t dx ux, y, tdy 0
流速与该函数满足: u , v y x
矢量形式:
V k
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Chen Haishan NIM NUIST
无旋流动 涡旋流动
2
Chen Haishan NIM NUIST
据矢量分析知识,任意一函数的梯度,取旋度恒等于零:
0 对于无旋流动,必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如:
V

V grad
无旋流动,其速度矢总可以用函数 的梯度来表示,把函数
x, y, z, t 叫做速度的(位)势函数,可以用这个函数来表
大大地减少了描写流体运动所需的变量,简化了问题。
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③用势函数来描述流体运动
对于某一固定时刻
x, y, z, t =常数
为一空间曲面,称为等势函数面或者等位势面。
上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。
由流速场与势函数的关系可知:V
流速矢与等位势面相垂直,由高位势流向低位势,等位势 面紧密处,位势梯度大,相应的流速大;等位势面稀疏处 ,位势梯度小,相应的流速小。
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u ,v
引用流函数,并考虑:n
kdyl
x
(dyi
dxj )
/
dl
dl
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
Q
B A
y
dy
x
dx

Q B A
表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量,决定于该
两点的流函数差,而与曲线的长度和形状无关。
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例1-6-1 已知流体作无旋运动,对应的等势函数线分布如
图所示(其中,0 < 1< 2 )的,请判断并在图
中标出A、B两处流体速度的方向,并比较A、B 两处流速的大小。
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④ 势函数的求解 假如流体的散度为:D u v w x y z
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二、速度流函数 Chen Haishan
NIM NUIST
①定义及存在条件 引入流体散度的概念之后,可将流体运动分为:
流体运动
无辐散流 辐散流
•V 0
•V 0
考虑二维无辐散流动,即满足:
w0
u ux, y, t , v vx, y, t
u / x v / y 0
其流线方程为: dx dy 或vdx udy 0 uv
根据势函数的定义有:2 D
其中, 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
为三维拉普拉斯算子。
可以看出,如果给定D,通过求解泊松(Poisson)方 程,即可求得势函数。
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求解势函数的具体方法(仅考虑二维的情况): (1)如已知D,直接求解泊松(Poisson)方程,可得势函数。 (2)如已知速度场,可以先求出D,然后再求解泊松方 程,最终得到势函数。
NIM NUIST ②引入流函数的优点
(1)减少表征流动的变量
(2)表征流体通量
在流体中任取一条有向曲线A B,顺着该有向曲线
流体自右侧向左侧的通量Q:
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
流速在曲线法向方向上的分量
曲线法向n方向k的单d位l 矢量定义为:
A
B
dl
而: dl i dx jdy
示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
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②引入势函数的优点
流速矢描述流体运动 需要给定三个变量
含有三个变量; 刻画流体的运动情况。
而引进了势函数后:
V ui vj wk
u ,v , w
x
y
z
只要一个变量(势函数)就可以来描述流体运动,
积分以上的全微分形式,可以得到:
x, y, t =常数
对某一固定的时刻:一空间曲线--流线方程积分曲线。
流速与该函数的关系---曲线的切线方向与流速矢 的方向是相吻合的。
上式所描述的曲线就是流线,当然,它也是函数 的等
值线。
将以上引进的函数 称之为流函数,而流线也就是等流函
数线。
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Chen Haishan
u (2a x) y

v
b( x2
来自百度文库
y2)
分别求势函数和流函数存在的条件。
习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动?如存在,请举例说明。
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习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动:(1)流函 数和势函数都是调和函数(满足二维拉普拉斯方程) (2)等势函数线和等流函数线正交。
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三、二维流动 Chen Haishan
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一般二维流动,既不满足无旋条件,也不满足无辐 散条件,流动是有旋有辐散的。此时,其涡度和散度均 不为零,即满足:
v x
u y
0
D
u x
v y
0
V V V
①②
①无辐散涡旋流 ②无旋辐散流
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用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
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(3)表征流体涡度
由涡度的定义
v x
u y
,可得到用流函数来表
示的涡度表达式: 2 2 x2 y2
可见,对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。
同样,求解流函数的方法为: (1)已知涡度,直接求解泊松(Poisson)方程; (2)已知速度场,先求出涡度,然后求解泊松方程。
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