解析函数应用

分条件是
∂u = ∂(−v) . ∂x ∂y
对 D 中任一简单闭曲线 C ，同样可定义沿 C 的环量
∫ udx + vdy.
C
其物理意义是单位正电荷沿 C 移动时电场立所作的功。对静电场，一样有以下结论：
假设 D 是单连通区域， u, v 在 D 内有连续的偏导数，则 D 是无旋场 ( 即环量为零 ) 的
例 2 设一个稳定平面流场的复势是
那么在任一点 z ≠ 0 的速度是
f (z) = 1,
z
f
′(z)
=
−
1
2
.
z
流函数是ψ (x, y)
=
−y x2 + y2
, 所以流线是曲线
x2
y +
y2
= C,
即与实轴相切于原点的一
族圆
x2
+
⎛ ⎜⎝
y
+
1 2C
⎞2 ⎟⎠
=
1 4C 2
.
势 函 数 是 ϕ(x, y)
数学实验一：解析函数对平面向量场的应用
1．平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道，所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被
视为不可压缩的。当空气流速不超过音速 (330m / s) 的 0.6 − 0.8 倍时，也可视其为不可压
缩的。 所谓流体的平面流动指在流动中，垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，
ϕ (x, y) = 常数
称为等势线，它显然是微分方程
dϕ = udx + vdy = 0
的解，亦即在等势线上有
dy = − u , dx v 为什么称ψ 是向量场 w 的流函数呢？我们来看，曲线族
ψ (x, y) = 常数，
它显然是微分方程
dψ ( x, y) = −vdx + udy = 0
的解，即有
流量等于
vnds.
（1）
实际上，这个量就等于以 ds 及 v 为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线 C 流
向取定一侧的流量 Q 为
Q = ∫ vnds. C
设 v 的实部和虚部分别为 a = a(x, y) 及 b = b(x, y) ，即 v = a + ib ，α 表示沿 C 正向的 切线与实轴的夹角，则取定法线方向与实轴的夹角为 β = α − π 。从而 C 上切线向量和法
=
x2
x +
y2
,
所以等势线是
x2
x +
y2
= C,
即与虚轴相切的一族圆
⎛ ⎜⎝
x
−
1 2C
⎞2 ⎟⎠
+
y2
=
1 4C 2
.
这时流体从 z = 0 的右侧流进而从左侧流出， z = 0 可看作是由极相近的一个源和一个
汇所合成的。(如图 3)
5
例 3 设一个稳定平面流场的复势是
f ( z) = L n z.
一个汇。(如图 4)
任意作一个围绕原点的简单闭曲线 γ . 在单时间内流体通过曲线γ 流向无穷远的流量
是：
如果我们考虑复势
∫
γ
−vdx
+
udy
=
Im
⎡
⎢∫
⎢⎣ γ
dz z
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
2π
.
w = −iLnz,
那么它的流线及等势线恰好分别是 w = Lnz 的等势线与流线。这时在 z = 0 有一涡旋，而在 单位时间内沿任何上述曲线γ 的环量是 2π.请读者自己详细讨论这种情况。
一个稳定平面向量场。
在区域 D 内任取一条简单曲线 C 。以 C 为准线，垂直于 C 的直线为母线，作一个高为
1的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量 ( 即流体的质量 ) ，称为通过 C 流
向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的，所以上述流量可用所流 过的流体在 D 上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向 C 的某一侧的流量为正，则
从而有
∂ϕ = u, ∂ϕ = v, ∂ψ = −v, ∂ψ = u.
∂x ∂y ∂x
∂y
而且，不计常数之差，ϕ 、ψ 由 u, v 唯一确定。
显然函数ϕ (x, y) 和ψ (x, y) 满足柯西-黎曼条件，因而函数
f ( z) = ϕ ( x, y) + iψ ( x, y)
在 D 内解析，ϕ 及ψ 都在 D 内调和，并且
对例 1 及例 2 也可就静电场作出解释。
3．应用
3．1 对流体学的应用 在本段中，我们要应用解析函数计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。假定飞机以不
变速度在天空飞行，其速度不超过音速 0.6 至 0.8 倍。为了方便，我们把坐标系取在飞机上。
这样，对坐标系而言，飞机是不动的，而空气则冲向飞机而流动。离飞机很远处的空气的速 度可以看成是不变的，把它算作是无穷远处的速度。设想机翼很长，并且考虑垂直机翼的诸
实部和虚部 ( 也就是 v 在 x 轴和 y 轴方向的投影 ) ，α 为切向量与 x 轴的夹角。对 D 内的任
∫ 一简单闭曲线 C 称 vtds 为流体在单位时间内沿曲线 C 的环量。 C 若沿 D 内的任一简单闭曲线 C 的环量是零，这个流体的流动就称为无旋的。
由环量的定义，无旋流动的条件是：对 D 内的任一简单闭曲线 C ，
必要与充分条件是
∂u = ∂v . ∂y ∂x
2．平面场的复势 设在区域 D 内每点给定一个不随时间改变的向量 w = u + iv ，即在 D 内给定一稳定平 面向量场。设 C 为 D 内任一条简单闭曲线，可与流速场和静电场完全相同的方式定义通过 C 的流量及沿 C 的环量。当流量和环量都是零时，称平面场 w 在 D 上是无源、无汇及无旋的。 静电场无源、无汇及无旋等价于场内无电荷，且当单位正电荷沿 D 内任一条简单闭曲线移
且与指定平面平行。显然，对于平面流动，只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中， 各质点的速度仅与各质点的位置有关，而不随时间变化，则称其为平面稳定流动。
在不可压缩流体的平面稳定流动中，取上述平面作为 z 平面，若对于 z 平面上某一区域 D 内的每一点，有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应；则在 D 内确定了
动时，电场力所作的功是零。
假设平面区域 D 是单连通的，且 u 及 v 在 D 内具有连续偏导数，又设 w 在 D 上是无源、
无汇及无旋的，则由上节的结论知
∂u = − ∂v , ∂u = ∂v , ∂x ∂y ∂y ∂x
（4）
即
∂u = ∂(−v) , ∂u = − ∂(−v) . ∂x ∂y ∂y ∂x
∫ vtds = ∫ (a cosα + bsinα )ds
C
C
= ∫ adx + bdy = 0. C
由格林公式又不难推得下述结论：
假定 D 是单连通区域， a,b 在 D 内有连续的偏导数，则 D 是无旋场的必要与充分条
件是
∂a = ∂b . ∂y ∂x
以上讨论中，v 是定义在 D 上的流速场，实际上，对其它既有大小又有方向的物理量，
流体向相反的一侧的流动的流量为负。
取曲线 C 上的弧元素 AB = ds 。指定 C 的方向，并相应取定它的法线的方向，使沿着 C
按取定方向前进时，法线所取定的方向总指向 C 的右侧。设在点 A 处的速度向量为 v, vn , vt
分别表示 v 在法线方向上的投影，则在单位时间内，通过元素 ds 流向法线所指定那一侧的
例 1 设一个稳定平面流场的复势是
f ( z) = az (a > 0),
那么在任一点的场向量是
f ′( z) = a.
流函数是ψ (x, y) = ay, 所以流线是直线 y = C1.
势函数是ϕ (x, y) = ax, 所以等势线是直线 x = C2.
以上 a 及 C 都是实常数。流体以等速度 a 从平面左方向右方流动。(如图 2)
表示通过 C 的通量。
Q = ∫ −vdx + udy C
由静电理论，通过 C 的通量与 C 包围的区域内的总电荷成正比，因此 C 的内区域是否
包含电荷取决于上述积分是否为零。与流速场的情形一样，我们有以下结论：
若 D 是单连通区域，并且 u 及 v 在 D 内有连续的偏导数，则在 D 内无电荷的必要与充
平行平面与机翼相交的截面 ( 称作机翼剖面 ) 。只要这些截面离机身及翼端较远，就可把它
们看成是全等的，而且在它们所在的平面上，空气流动的情形也可看成是相同的。这样，在 上述条件下，研究飞机飞行时围绕机翼的气流情况问题，就化成了不可压缩流体的平面稳定 流动问题。显然这一流动是无源及无汇的，而且根据实验，在飞机速度满足上述条件时，这 一流动也可看作是无旋的。
由柯西-黎曼条件可知函数
3
u + i(−v) = u − iv 在 D 内解析，且函数 u 及 v 都是 D 内的调和函数。
由式（4）， udx + vdy 及 −vdx + udy 分别是某两个函数ϕ (x, y) 和ψ (x, y) 的全微分，
即 dϕ = udx + vdy, dψ = −vdx + udy ，
话说， f ( z) 及 Γ 只与曲线 C 的形状以及气流在无穷远点的速度 w∞ 有关。
事实上，应用双方单值映照解析函数，可以把曲线 C 的外部单值映照成一个圆 K 的外 部。我们可以在圆 K 外部，求出相应的无源、无汇及无旋平面稳定流动的复势。再应用保
在上述条件下，取离机身及翼端较远的一个机翼剖面的所在平面作为 z 平面，剖面边 界是带有尖端点的一条简单闭曲线 C 。这时空气可以看作沿着曲线 C 流动，亦即气体质点
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沿着 C 运动，从而 C 是一条流线(如图 5)。只要知道了曲线 C 的形状以及气流在无穷远点
的速度 ( 记作实数 w∞ ) ，就可在曲线 C 的外部求出上述流动的复势 f ( z) 以及环量 Γ 。换句
以上结论同样成立。
现考虑平面上的静电场，取静电场所在平面为 z 平面，单位电荷在平面上某点所受的
2
力，称为这点的电场强度。如果在 z 平面上或其上某区域内每一点，有一个大小与方向都不
随时间改变的电场强度向量，则 z 平面上也给出一个稳定平面向量场，设其所在区域为 D 。
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现用 w = u + iv 表示 D 中电场强度向量，则对 D 中任一条简单闭曲线 C ，
∫ 通过 C 的流量应当满足 Q = −bdx + ady = 0 ，由格林公式不难推得以下结论： C
设 D 是单连通区域，a,b 在 D 内有连续偏导数。则 D 既无源又无汇的必要与充分条件
是
∂a = ∂(−b) . ∂x ∂y
（3）
前边已经定义 vt 为速度向量 v 在切线方向的投影，且 vt = a cosα + b sinα, 其中 a,b 为 v 的
C
C
（2）
若曲线 C 是闭合的，指定反时针方向为正向，则法线方向的正向指向曲线 C 的外部，
从而当流入 C 的内部的流体多于流出的流体时，流量为正的；反之，当流入 C 的内部的流
体少于流出的流体时，流量为负的。若在区域 D 内任何部分，都无流体放出，也无流体吸
入，则称 D 内流速场 v 既无源又无汇。设流速场 v 既无源又无汇，则对 D 内的任一闭曲线 C ，
那么在任一点 z ≠ 0 的速度是
f ′(z) = 1.
z 流函数是ψ (x, y) = Argz, 所以流线是直线 Argz = C.
势函数是ϕ (x, y) = ln | z |, 所以等势线是圆| z |= C.
这时流体从 z = 0 向各方向流向无穷远； z = 0 可以看作是一个源， z = ∞ 可以看作是
4
dy = v . dx u 这说明向量场 w 在每一点处的方向都与曲线ψ (x, y) = 常数的切线方向一致，因此称
ψ (x, y) = 常数为流线，而称ψ 为流函数。
显然，等势线与流线彼此正交。
综上所述，若在单连通平面区域 D 内给定一无源、无汇且无旋的向量场，那么，与这 一平面向量场相对应，可在 D 内确定一个解析函数，即场的复势。反之，给定一个在单连 通区域 D 内的析函数，就确定一个无源、无汇及无旋的稳定平面场，以已定函数作为复势。
2 线向量的方向余弦分别是： cosα ,sinα 和 cos β = sinα ,sin β = − cosα. 于是
1
vt = v ⋅{cosα,sinα} = a cosα + bsinα,
vn = v ⋅{sinα, − cosα} = a sinα − b cosα.
故我们有
Q = ∫ (a sinα − b cosα)ds = ∫ −bdx + ady.
f ′( z) = ∂ϕ + i ∂ψ = u + i(−v),
∂x ∂x
从而， f ′( z ) = u + iv 正是给定的平面场 w. 我们称 f ( z) 为平面向量场 w 的复势。调和函数ϕ (x, y) 及ψ (x, y) 分别称为向量场 w
的势函数和流函数。
由于 dϕ = udx + vdy, 所以称ϕ 是向量场 w 的势函数，曲线族