分离变量法习题word版

第十章习题解答

1 求解混合问题

⎪⎩

⎪⎨⎧====><<=-)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02x x u x u t l u t u t l x u a u t xx tt ϕ，其中⎪⎩⎪

⎨⎧<≤++<<--≤<=l

x c c x c v c x x δδδδϕ000)(0

解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(t T x X t x u =，则，

)()(),(),

()(),(t T x X t x u t T x X t x u xx tt ''=''=

代入混合问题中的微分方程可得：

λ-=''=''⇒

=''-'')

()

()()(0)()()()(22

t T t T a x X x X t T x X a t T x X 由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(==⇒====l X X t T l X t l u t T X t u 由此可得，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解：

⎩⎨

⎧==<<=+''0

)(,0)0()0(0)()(l X X l x x X x X λ

若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 )ex p()ex p()(21x c x c x X λλ-+=，

代入边值条件后可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。 若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c c x X 21)(+=，

代入边值条件后仍可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。 若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+=， 代入边界条件后可得：

x c x X c c c X λλλsin )(00sin 0cos )0(2121=⇒==+=，

2

2,0sin 0)(,0sin )(⎪⎭

⎫

⎝⎛===⇒≠==l n l x X l c l X n πλλλλ，

所以可取 ),2,1(sin )()( ===n l

x n x X x X n π

由)(t T 所满足的方程可得： l

at

n b l at n a t T t T t T a

t T n n n ππλsin

cos

)()(0)()(22

+==⇒=+''， 所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 l

x

n l at n b l at n a t T x X t x u t x u n n n n n πππsin

)sin cos ()()(),(),(+===， 设原混合问题的解函数为 ∑+∞

=+=

1

sin )sin cos

(),(n n n l

x n l at n b l at n a t x u πππ， 则由初始条件可得：),2,1(0sin

)0,(01

==⇒=

=∑+∞

=n a l

x

n a x u n n n π ∑+∞

==

1

sin cos ),(n n t l x

n l at n b l a n t x u πππ， ⎰∑=⇒=

=+∞

-l n n n t dx l x

n x a n b l x n b l at n x u x 01

sin )(2sin )0,()(πϕπππϕ， ))

(cos )((cos 2sin 22200l c n l c n a

n l v dx l x n v a n b c c n δπδππππδδ+--==

⎰+- （*） 所以，原混合问题的解为 ∑+∞

==1

sin sin

),(n n

l

x

n l at n b

t x u ππ，其中的n b 由（*）给出。 2 求解混合问题

⎪⎩

⎪

⎨⎧====><<=-）

E x u x u t l u E t u t l x u a u t xx tt 为常数(0)0,(,0)0,(0),(,),0()

0,0(02

解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

)(),(),()(),(),(x l l

E

t x v t x u x l l E t x u t x v -+=⇔--

=， 则 ),(),(),,(),(),,(),(t x u t x v t x u t x v t x u t x v tt tt t t xx xx ===，

0),(),(),(),(2

2=-=-t x u a t x u t x v a t x v xx tt xx tt ，

00),(),(,0),0()0(),0(),0(=-==-=--

=t l u t l v E t u l l

E

t u t v ， 0)0,()0,(),()()0,()0,(==--=--=x u x v x l l

E

x l l E x u x v t t ，

所以，),(t x u 是原混合问题的解的充要条件是：),(t x v 是如下混合问题的解：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=--===><<=-0),(),()0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(2

t x v x l l E x v t l v t v t l x t x v a t x v t xx tt （*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得： ∑+∞

=+=

1

sin )sin cos

(),(n n n l

x

n l at n B l at n A t x v πππ， 代入初始条件可得：， 0=n B ， ),2,1(2sin )(20 ==-=

⎰n n E dx l x n x l l E l A l n π

π

所以，∑+∞

=-

=1

sin cos 2),(n l x n l at n n E t x v πππ， 原混合问题的解函数为∑+∞

=--=1sin cos 2)(),(n l x

n l at n n E x l l E t x u πππ

3 求解下列阻尼波动问题的解：

⎪⎩

⎪

⎨⎧====><<=-+)

()0,(),()0,(0),(,0),0()

0,0(022x x u x x u t l u t u t l x u a hu u t x xx t tt ψϕ

其中，h 为正常数，且l

a h 2π

<。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边

界条件： )()(),(t T x X t x u =

则容易算得：)()(),(),()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u t T x X t x u tt t xx ''='=''=， 代入方程后化简可得：

λ-=''='+'')()

()

()(2)(2x X x X t T a t T h t T 0)0()()0(),0(0=⇒==X t T X t u ， 0)()()(),(0='⇒'==l X t T l X t l u x ， 0)()(2)(2

=+'+''t T a t T h t T λ