弹性力学第四章习题

1。
第四章 习题课
例题4（习题4-19）
设有厚度为1的无限大薄板， 在板内小孔中受集中力F，试 用如下的应力函数求解，
Φ Aρ ln ρ cos φ Bρ sin φ。
y
0
ρF
φ
•
x
第四章 习题课
解：
（1）经校核，上述 Φ 满足相容方程。
（2）代入应力公式，得
cos
(A
2B),
cos
A,
第四章 习题课
解：首先检验 Φ，已满足 4Φ 0。由 Φ
求应力，代入应力公式得
2Bsin 2 2C, 2Bsin 2 2C, 2B cos 2 C。
第四章 习题课
再考察边界条件。注意本题有两个 面, 即 2，分别为 面。在 面上，应力
符号以正面正向、负面负向为正。因此，有
第四章 习题课
例题1 （习题4-8）试考察应力函数
Φ q ρ3 cos3φ, 6a
能解决图中所示弹性体的何种受力问题？
y
0
30o 30o
a
a
x
第四章 习题课
解：本题应按逆解法求解。
首先校核相容方程，4Φ 0 是满足的。
然后，代入应力公式（4-5），求出应
力分量：
σ
ρ
qρ a
cos3φ,
qρ σφ a cos3φ,
由前两式积分，得
第四章 习题课
u
1 [(1 E
) A 2B]ln
cos
f
( ),
u E1 [(1) A2B]ln sin
E1 [(1)A2B]sin f ()d f1().
将u ,u代入第三式，并分开变量，得
df1( ) d
f1( )
2 sin E
[(1
)B
2
A]
df () d
f
()d。
( ) 2 0, 得C 0; ( ) 2 q, 得B q 2。
ห้องสมุดไป่ตู้代入公式，得应力解答，
qsin 2, qsin 2, q cos 2。
第四章 习题课
例题3（习题4-18）
设半平面体在直 边界上受有集中 力偶，单位宽度 上的力矩为M，试 求应力分量。
第四章 习题课
解：应用半逆解法求解。 （1）按量纲分析方法，单位宽度
第四章 习题课
为了使上式在区域内任意的, 都成
立，两边都必须等于同一常数G。这样， 得到两个常微分方程，
df1 ( ) d
f1 ( )
G,
(b)
2sEin[(1)B2
A]
df () d
f
(
)d
G。
(e)(c)
由式（b）解出 f1(ρ)HρG。
第四章 习题课
将式（c）对 φ求导一次，再求出
f () 1 [(1)B2A]sinIcosKsin。
令其解为Φ eλφ，代入上式，可得到一个关
于 的特征方程，2 (2 4) 0,
第四章 习题课
其解为 2i,2i,0,0。于是得 的四个解 ae2i , be2i ,c, d ；前两项又可以组合为正弦、
余弦函数。由此得
Φ Acos2φBsin 2φCφD。 本题中结构对称于 0的 x 轴，而 M 是
反对称荷载，因此，应力应反对称于x 轴，
为 x 的奇函数，从而得
A D 0,
Bsin 2 C。
第四章 习题课
（4）由 Φ 求得应力分量，
σ
ρ
1 ρ2
4Bsin
2φ,
σ 0,
τ
ρ
1 ρ2
(2Bcos2φC)。
（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶
作用，应分别考察大边界上的条件和
原点附近的条件。
τ
ρφ
qρ a
sin
3φ。
第四章 习题课
再求出边界上的面力：
30面上， 0，
q ;
a
a面上, q cos 3, qsin 3。
读者可由此画出边界上的面力分布。
第四章 习题课
例题2（习题4-9）
半平面体表面受有均布水平力q，试用应力 函数Φ ρ2 (Bsin 2φCφ) 求解应力分量。
第四章 习题课
由物理方程求出应变分量，
ε
ρ
1 E
(σ
ρ
μσ
φ
)
cosφ[(1 Eρ
μ)
A
2
B],
εφ
1 E
(σ
φ
μσ
ρ
)
cosφ[(1 Eρ
μ)
A
2
μB],
γ
ρφ
2(1 E
μ)
τ
ρφ
2(1 μ) Eρ
Asin
φ。
第四章 习题课
代入几何方程，得 u cos [(1 ) A 2B], E 1 u u cos [(1 ) A 2B], E 1 u u u 2(1 ) Asin 。 E
上的力偶矩与力的量纲相同。应力应
与 M , , 有关，由于应力的量纲是单
位面积上的力，即 L1ML2，应力只能
以 M 2 形式组合。
第四章 习题课
（2）Φ 应比应力的长度量纲高二次幂，
可假设 Φ Φ。(φ)
（3）将 Φ代入相容方程，得
1
1 ρ4
(
d4Φ dφ4
4
d2Φ dφ2
)
0。
删去因子 4 ，得一个关于Φ(φ) 的常微分方程。
2
[(
2
)
cosd
(
)
sin
d
]
0,
2
[(
2
)
sin
d
(
)
cos
d
]
0,
( ) d 2
2
2
M
0。
第四章 习题课
上式中前两式自然满足，而第三式成为
2B M 。
(b)
再由式（a）得出 C M 。 代入应力公式，得π最后的应力解答，
2M
sin 2 2
,
0,
M
cos 2 2
Mo 0,
2 0
(τ
ρ
)
ρ
ρ
ρ2
d
φ
0。
将应力代入上式，其中第二、三式自然满足， 而第一式得出
B F 2 。
(a)
第四章 习题课
（4）由此可见，考虑了边界条件后还 不足以确定待定常数。注意到本题是多连 体，应考虑位移的单值条件。因此，先求 出应变分量，再积分求出位移分量，然后 再考虑单值条件。
E
再将上式的 f () 代入u ，得
u
1 E
[(1
)
A2B]ln
在 ρ0,φπ 2 的边界上，有
(σφ ) ρ0,φπ 2 0, (τ ρφ) ρ0,φπ 2 0。
第四章 习题课
前一式自然满足，而第二式成为
2B C。
(a)
为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，
取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体，
并列出其平衡条件，
Fx 0, Fy 0, Mo 0,
sin
A。
第四章 习题课
（3）考察边界条件。本题只有原 点o附近的小孔口上作用有集中力F，
可取出包含小孔口在内的、半径为
的脱离体，列出其三个平衡条件：
第四章 习题课
2 Fx 0, 0 [(σ ρ )ρρ cos φρ d φ (τ ρφ)ρρ sin φρ d φ] F 0,
2 Fy 0, 0 [(σ ρ )ρρ sin φρ d φ (τ ρφ)ρρ cos φρ d φ] 0,