第5章图像复原

最小二乘方滤波
最小二乘滤波也就是维纳滤波，它是使
原始图像f(x,y)及其恢复图像f^(x,y)之间 的均方误差最小的复原方法
具体的数学公式推导过程忽 略，直接给出公式
•Sf(u,v):为 f[x,y]的功率普，Sh(u,v)为 n[x,y]的功率普
讨论一下上式的几种情况
（1）如果s=1，方括号中的项就是维纳滤波器 （2）如果s是变量，就称为参数维纳滤波器 （3）当没有噪声时，Sn(u,v)=0，维纳滤波器就退 化为理想的逆滤波器 （4）当Sn(u,v)和Sf(u,v)未知时，用常数K可代替 因此必须调节s以满足 f^ = (HTH + sQTQ)–1 HTg
原始 图像
枕形 失真
桶形 失真
校正过程
* * * + * * * * * * * * + * * * * * 已校正图像 空间变 形校正
理想图像
观测图像
实际空 间畸变
观测图像和校正 图像之间对应点
设原图为f(x,y)，受到几何形变得影响变成g(x’,y’)， 这里(x’,y’)表示失真图像的坐标
其中 (1/K) Sk=0K-1f(x+kc) 是未知的，但是当 K很大时，其接近平 均值，将其设为常数A。
因此,
f(x-mc) A – (1/K) Sk=0K-1f^(x+kc-mc), 0 x L
A – (1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c] 或对 0 x,y L f(x,y) A – (1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c,y] + Sj=0mg’[x-jc,y]
经过傅立叶反变换，可求得原始图像f(x,y)
在有噪声的情况下
F^(u,v) = F(u,v) + N(u,v)/H(u,v) 从上面两式可以看出，在进行复原处理时可能会发生下列情况： (1)H(u,v)=0或H(u,v)非常小，在这种情况下，即使无 噪声，也无法精确恢复f(x,y) (2)在有噪声存在时，在H(u,v)的邻域内，H(u,v)的值可 能比N(u,v)的值小的多，由上式得到的噪声项可能会 非常大，不能使f(x,y)正确恢复
g和f是M维列矢量： fT = [ f[0], f[1], …, f[M-1] ] gT = [ g[0], g[1], …, g[M-1] ]
H称为M×M循环矩阵
H=
考虑噪声 g=Hf+n
(1)
循环矩阵对角化
如果直接对式(1)进行计算求解f，计算量达，如 M=N=512 ,则H的尺寸为262144×262144，可以 通过对角化H来简化 当k=0,1…M-1时，循环矩阵H(设为M×M)的特征矢 量和特征值分别为
dJ(f^ )/df^ = 0
f^ = (HTH + γQTQ)–1 HTg
α=1/λ
逆滤波
基本原理
在不考虑噪声的情况下，假设M=N，则根据前面的公式，有 f^ = H–1 g = WD–1 W–1 g 傅立叶 变换 反向滤波 的作用
或 W–1 f^ = D–1 W–1 g
F^(u,v) = G(u,v)/H(u,v)
η(x,y)=Asin(u0x+v0y) 傅立叶变换为： N(u,v)=-jA[δ(u-u0/(2π),v-v0/v(2π))δ(u+u0/ (2π),v+v0/ (2π)) ]
这里退化仅由噪声造成，所以有：
G(u,v)=F(u,v)+N(u,v) 利用前面讲的带阻滤波器消除，以去掉正弦干扰模式影响
大气 流的 扰动 效应
定义：
•f[x,y]: 原始图像
•g[x,y]: 退化图像 •n[x,y]: 加性噪声 g[x,y] = H{f[x,y]} + n[x,y] •H{ }: 系统或操作
图像恢复就是在给定g(x,y)和代表退化的H的基础上， 得到对f(x,y)的某个近似的过程
简单的通用退化模型


图像恢复的内容




退化模型和循环矩阵对角化 复原的代数方法 逆滤波 最小二乘方滤波 交互式恢复 空间复原技术
退化模型和循环矩阵对角化
退化模型
传感 器非 线性 畸变
光学 系统 中的 衍射 几何 畸变 图像 运动 造成 的模 糊
光学 系统 的像 差 摄影 胶片 的非 线性
产生原因
它使事先确定的某种优度准则为最小
无约束复原方法
由退化模型可知，其噪声项为：
n= g-Hf 在并不知道n的情况下，希望找到一个f^，使 得Hf^在最小二乘方意义上来说近似于g， 也就是说，寻找一个f^，使得
||n||2 = ||g – Hf^||2 J(f^)
或
nTn = (g – Hf^)T(g – Hf^)
位置（空间）不变性：
H{f[x-a, y-b] } = g[x-a, y-b]
图像任意位置的响应只与在该位置 的输入值有关，而与位置本身无关
常见具体退化模型示例
空间不变 线性
非线性
摄影胶 模糊 光学成像系 片的冲 退化 统，由于孔 洗过程 径衍射产生 的退化
目标运动 造成的模 糊退化
随机噪声迭 加，随机性 的退化
n(x,y) = A sin(u0x+v0y)
傅立叶 光谱
正弦 干扰
恢复 图像
例子
周期干扰退化图像
傅立叶谱
干涉模式
处理后图像
空间复原技术
空间变换
灰度插值
空间变换

在图像的获取或显示过程中，产生几何失真， 如成像系统有一定的几何非线性，因此会造成 如图所示的枕形失真或桶形失真，另外，由于 地球表面呈球形，摄取的平面图像也将会有较 大的几何失真。对这些图像必须加以校正，以 免影响分析精度
n(x,y)
f(x,y)
H{.}
+
g(x,y)
H多具有的性质
• 2幅图像 线性： 常数
H{k1f1 + k2f2} = k1H{f1} + k2H{f2}
相加性：令 k1 = k2 = 1，则 H{f1 + f2} = H{f1} + H{f2} 一致性：令 f2 = 0，则 H{k1f1} = k1H{f1}
第5章 图像复原
图像复原－又称为图像恢复

与图像增强相似－都要得到在某种意义上改进的 图像，或者说，希望要改进输入图像的视觉质量 不同之处－图像增强技术一般要借助人的视觉系 统的特性，以取得看起来好的视觉结果，而图像 复原则认为图像是在某种情况下退化或恶化了(图 像品质下降了)，现在需要根据相应的退化模型和 知识重建或恢复原始的图像 图像恢复技术是要将图像退化的过程模型化，并 据此采取相反的过程以得到原始的图像
假设 L = Kc, 其中 K使整数. 变量x为： x = z + mc
其中 z 在[0,c]范围， m 是 (x/a)的整数部分 (m 的取值为 0, 1, …, K-1).
则,
f(z+mc) = g’(z+mc) + f[z+(m-1)c]
这个等式能通过递归 f(z)解决， f(z) = f(z-a) 定义为运动 范围的一部分 0 z < c.
逆滤波和维纳滤波恢复比较
SNR 1
10
100
退化图像
傅立叶功率普
逆滤波恢复
维纳滤波恢复
光谱图
原始 图像
模糊和增 加噪声 约束的最 小二乘滤 波
逆滤波 恢复
交互式恢复
前面讨论都是自动解析的恢复方法，在具
体恢复工作中，常常需要人机结合，由人 来控制恢复过程，以达到一些特殊的效果
实际中，有时图像会被1种2-D的正弦干扰模式(也叫相关噪 声)覆盖。令η(x,y)代表幅度为A，频率分量为(u0,v0)的正 弦干扰模式，即：
f(x) = Sk=0m g’(x-kc) + f(x-mc)
由于g(x)为已知，问题就转化为估计f(x)
•为了估计 f(x):
f(x-mc) = f(x) – f^(x).
对每个 kc x < (k+1)c计算，并将 k = 0, 1, …, K-1 的结果加起来 ，得到 Kf(x) = Sk=0K-1f(x+kc) – Sk=0K-1f^(x+kc), 0 x < c f(x) A – (1/K) Sk=0K-1f^(x+kc), 0 x < c
x’=s(x,y) y’=t(x,y) 线性失真 s(x,y)=k1x+k2y+k3
t(x,y)=k4x+k5y+k6
非线性失真 s(x,y)=k1+k2x+k3y+k4x2+k5xy+k6y2 t(x,y)=k7+k8x+k9y+k10x2+k11xy+k12y2 如果已知s(x,y)和t(x,y)的解析表达，可以通过反 变换来恢复图像
更容易处理，常常附加某种约束条件。 如令Q为f的线性算子，最小二乘复原问题可 看成是使形式为||Qf^||2函数，服从约束条件||g – Hf^||2 = ||n||2 的最小问题，这种带有附件条件 的极值问题可用拉各朗日乘数法处理
处理过程
寻找一个f^，使下述准则函数为最小 J(f^) = ||Qf^||2 + α{||g – Hf^||2 - ||n||2} 拉各朗 日系数
利用原始 图像的一 个邻域光 谱面恢复
消除匀速直线运动引起的模糊
在获取图像时，由于景物和摄像机之间
的相对运动，造成图像的模糊。
假设对平面匀速运动的景物采集1幅图像f(x,y)，并设x0(t)和 y0(t)分别是景物在x和y方向的运动分量，T是采集时间长度。 实际采集到的由运动而造成的模糊图像g(x,y)为：
W = [w(0) w(1) w(2) … w(M-2) w(M-1)]
H = WDW-1 D = W-1HW
其中：D(k,k) = λ(k)，WW-1 =W-1W=I
复原的代数方法
图像复原的主要目的是当给定退化的图像g
以及H和n的某种假设，估计出原始图像f
代数复原方法的中心是寻找一个估计的f^，
一般说，逆滤波不能正确估计H(u,v)的零点 实际中，不用1/H(u,v)，而用另外一个关于u,v的函数M(u,v) 处理框图为： f(x,y)
H(u,v)
+
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G(u,v) M(u,v)
F^(u,v)
N(u,v) 1/H(u,v) M(u,v)= u2+v2≤w20
1
u2+v2＞ w20
例子
散焦 模糊 原始 图像 利用大 的邻域 进行恢 复
实际上是求J(f^)的极小值问题，除了要求J(f^)为最小 外，不受任何其它条件约束，因此称为无约束复原 即 dJ(f^ )/df^ = 0 = -2HT(g – Hf^) f^ = (HTH)-1 HTg (2) M=N时，则有 f^ = H-1(HT)-1 HTg = H-1 g
约束复原方法
在最小二乘方复原处理中，为了在数学上
2 2 k ) exp( j ( M 1)k ]T M M 2 2 (k ) h(0) h( M 1) exp( j k ) h(1) exp( j ( M 1)k ) M M w(k ) [1 exp( j
将H的M个特征矢量组成1个M×M的矩阵W
退化模型的计算
假设对2个函数f(x)和h(x)进行均匀采样，其结果 放到尺寸为A和B地2个数组。 对f(x)，x的取值范围是0,1,2…A-1；对h(x)，x 的取值范围是0,1,2,….B-1。利用卷积计算g(x)。 为了避免卷积的各个周期重叠，取M≥A+B-1，并 将函数用0扩展补齐 fe(x)和he(x)表示扩展函数，卷积为 ge(x)=∑fe(m) he(x-m) 矩阵表示 g=Hf x=0,1,…M-1
只考虑x方向的运动情况，即
x0(t)=ct/T，y0(t)＝0，则
H(u,v) = 0Texp{-j2πux0(t)}dt = (T/πuc)sin(πuc)e-jπuc 当n为整数时，H在u=n/c处为0
根据模糊图像g(x,y)，不考虑y的变化
g(t) = 0Tf[x-x0(t)]dt = 0Tf[x-ct/T]dt = x-cxf[t]dt, 0 x L 其中：t = x – ct/T. 因此， g’(x) = f(x) – f(x-c) or f(x) = g’(x) + f(x-c)
g(x,y)=∫0Tf[x-x0(t),y-y0(t)]dt
G(u,v) = F(u,v) 0Texp{-j2p[ux0(t) + vy0(t)]}dt = F(u,v)H(u,v)
H(u,v) = 0Texp{-j2p[ux0(t) + vy0(t)]}dt
如果知道运动分量x0(t)和y0(t)，从上式直接得到H(u,v)