线性系统的能控能观性

变量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为
电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，
所以该电路是不能观测的。
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义
线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )
(4.1.1)
定义 4.1.1 对于系统 (4.1.1) ，若对某个初始状态 x(0), 存在控制向量序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}，使系统从第 0步的状态向量开始，在第n步到达零状态，即 x(n)=0，那么就称状态x(0)是能控的。如果系统的所
有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的
充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成
rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.
(4.1.10)
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。 但多输入系统有以下特点：
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
rank B
1 0 1 1 AB rank 0 0 1 2 3 0 1 0 0
4.2 定常连续系统的能控性
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常
连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
定义 4.2.1 对于系统 (4.2.1) ，若存在一分段连 续控制向量 u(t) ，能在有限时间区间 [t0,t1] 内 将 系 统 从 初 始 状 态 x(t0) 转 移 到 任 意 终 端 状 态
1 1 1 0 2 2 3 Ab A 2b rank 1 1 3
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
4.1.3
多输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )
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(4.1.9)
x(t1) ，那么就称此状态是能控的。若系统任意 t0 时刻的所有状态 x(t0) 都是能控的，就称此系
统是状态完全能控的，简称能控。
4.2.2
线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必 要条件是能控性矩阵
UC B AB An 1 B
简称能控。
4.1.2
单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k ) bu(k )
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充
分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。 该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
例4.1.1
1 0 0 1 x ( k ) 0 u ( k ) x(k 1) 0 2 2 1 1 0 1
rank b
系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映
状态变量，称之为状态的能观性问题。
例4.0.1
桥形电路 (a) 两个电容相等。选各自的电压为状
态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论 ，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b) 中相轨迹为
一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上
移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态
(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根
据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一
…,
定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要
条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。 (2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存 在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择 最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。
•
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的基本概念
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
Ax Bu 状态方程反映控制输入对状态的影响 x y Cx 输出方程反映系统输出对状态的依赖
两个基础性概念：能控性与能观性
两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转 移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力， 称之为状态的能控性问题。 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计
例4.1.2
x1 (k 1) 1 2 1 x1 (k ) 1 0 x (k 1) 1 0 2 x (k ) 0 0 u1 (k ) 2 2 u (k ) 2 x ( k 1 ) 0 1 1 x ( k ) 0 1 3 3
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系
4.6 线性定常系统的结构分解
4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
的秩为n，即
rank B AB An 1 B n
注
如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则
系统的状态完全能控性的判据为
rankU C rank b Ab A b n
n 1
此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非 奇异的。
例4.2.1
考察如下系统的能控性
x1 1 2 1 x1 1 0 x 0 1 0 x 0 1 u1 2 2 u 2 x3 1 0 3 x3 0 0