高等数学 课件 PPT 第五章 定积分

一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
当λ→0时，这两个和式的极限分别为1和0，所以f(x)在［0,1］上 不可积．
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一、定积分的概念
定理1
如果函数f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积．
定理2
如果函数f(x)在［a,b］上只有有限个第一类间断点， 则f(x)在［a,b］上可积．
一、定积分的概念
4. 定积分的几何意义
表
示连续曲线f(x)在区间［a,b］上的平均高度，
也就是函数f(x)在［a,b］上的平均值，这是
有限个数平均值的拓广，所以应用定积分才
能求出连续函数在闭区间上的平均值．
二、定积分的性质
性质10
设函数y=f(x)在区间［－a,a］上连续，则
用定积分的几何意义去理解定积分的这些性质会比 较直观
二、定积分的性质
一、定积分的概念
【例2】
利用定积分的几何意义说明下列等式的正确性．
一、定积分的概念
一、定积分的概念
二、定积分的性质
性质1
如果在区间［a,b］上f(x)≡1，则
此时曲边变成直边，积分值为底为b－a，高为1的矩 形面积．
二、定积分的性质
性质2
（线性性质）函数的和(差)的定积分等于它们的定积分 的和(差)，即
路程＝速度×时间． 但速度随时间变化的运动就不能用这种方法计算路程 了．然而，由于物体运动的速度是连续变化的，在很短的时间间 隔内，速度的变化很小，可以把这段时间间隔内变速运动近似看 成匀速运动．这就提示了计算变速直线运动路程的方法．
一、定积分的概念
（1）分割 在时间间隔［T1,T2］内任意插入n－1个分点 T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，
一、定积分的概念
(1)连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴及两条直线x=a，x=b 所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间［a,b］上的 定积分，即
(2)物体以变速v=v(t)(v(t)≥0)作直线运动，从时刻t=T1 到t=T2，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间［T1,T2］上 的定积分，即
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
二、定积分的性质
定积分中值定理在几何上表示这样一个事实：以连续 曲线y=f(x)(a≤x≤b,f(x)≥0)为曲边的曲边梯形面积等于以 f(ξ)为高、(b－a)为底的矩形的面积，如图5-6所示.f(ξ)称为 连续函数y=f(x)在区间［a,b］上的平均值．
图 5-6
二、定积分的性质
由几何解释容易看出，
【例3】
根据定积分的性质，说明下列哪一个积分的值较大．
二、定积分的性质
【例4】
利用积分估值性证明下列不等式
二、定积分的性质
思考
(1)课本通过两个实例引出了定积分概念，请问：这两个实例
的共同本质是什么？定积分定义的核心又是什么？
(2)利用定积分的几何意义说明
是否正确?为什么？”
第二节
微积分基本定理
（2）在上述定义中，我们实际上限定了上限大于下限， 即a<b，但在实际应用及理论分析中，会用到上限小于下限 或等于下限的情况．为此，我们把定积分的定义扩充如下：
当a<b时，规定
当a=b时，规定∫aaf(x)dx （3）如果定积分∫baf(x) 存在，就称f(x)在［a,b］
上可积，否则就称f(x)在［a,b］上不可积．
一、定积分的概念
我们知道，平面图形可以划为若干个曲边梯形之 和．为了解决求平面图形面积的问题，先来解决如何 求曲边梯形的面积问题．现在，我们所遇到的主要困 难是：它的一条边f(x)是曲线，如果f(x)是平行于x轴的 直线段，则为矩形，其面积公式为
矩形的面积＝底×高．
一、定积分的概念
但曲边梯形的面积不能用这个公式计算，因为它各处的高是 不同的．为了解决上面的困难，我们用一组平行于y轴的直线将 曲边梯形分割成若干个小窄曲边梯形．针对每个小窄曲边梯形， 由于它的底很窄，高f(x)变化不大，可以近似地看做不变，小窄 曲边图形可近似为窄矩形．把这些小窄曲边图形面积的近似值加 起来就得到了原曲边梯形面积的近似值．可以想象，把曲边梯形 分的越细，所得到的近似值的精确度就越高．因此，当无限细分 （每个小矩形的底边长都趋于零）时，所得的近似值如果有极限， 就可定义该极限值为曲边梯形的面积．下面分四步具体讨论：
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)． （3）求和 将这n个小段路程相加就得到物体在时间间隔 ［T1,T2］上经过的路程的近似值，即
（4）取极限 记λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，当λ→0时，对 上式取极限，就得到变速直线运动在时间间隔［T1,T2］内的总 路程
一、定积分的概念
一、定积分的概念
然而，函数f(x)在［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
（2）近似
在每个小区间［xi－1,xi］上任取
一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－xi－1为底，f(ξi)为
高的窄矩形代替第i个小曲边梯形(i=1,2,…,n)，若
记ΔAi为第i个小曲边梯形面积，则有
ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)．
一、定积分的概念
（3）求和 把这样得到的n个窄矩形面积之 和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即
把［T1,T2］分成n个小段 ［t0,t1］,［t1,t2］,…,［tn－1,tn］，
各小段的时间长依次为 Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t1,…,Δtn=tn－tn－1，
相应地，物体在各段时间内经过的路程依次为 Δs1,Δs2,…,Δsn．
一、定积分的概念
（2）近似 在时间间隔［ti－1,ti］上任取一时刻τi，以τi时 的速度v(τi)作为时间间隔［ti－1,ti］上的平均速度计算Δsi，则
2. 定积分的定义
前面介绍的两个实例其解决的实际问 题虽不同，但其解决问题所用的思想和方 法却是相同的，即“分割、近似、求和、 取极限”．我们就把这类问题抽象成一个 数学概念，称之为定积分．
一、定积分的概念
定义
设f(x)是定义在区间［a,b］上的有界函数，用分点 a=x0<x1<…<xn－1<xn=b
二、定积分的性质
证因m≤f(x)≤M，由定积分的性质6得
于是有
由上式得
．这表明
介于函数f(x)的最小值与最大值之间，由连续函数的介值
定理知，在［a,b］上至少存在一点ξ，使得
这就是下面给出的定积分中值定理．
二、定积分的性质
性质9
（定积分中值定理）如果函数y=f(x)在闭区间 ［a,b］上连续，则在区间［a,b］上至少存在一个点 ξ，使下式成立： 这个公式称为积分中值公式.
一、定积分的概念
【例1】
解 因为f(x)=x2在［0,1］上连续，所以该定积分存在． 积分值与对［0,1］的分法及ξi的取法无关，即在任何对［0,1 ］的分法及ξi的取法下，求积分和式的极限值时都一样．为方 便起见，对区间［0,1］n等分，分点为xi=i/n(i=0,1,2,…,n－ 1,n),Δxi=1/n(i=1,2,…,n)，取ξi=xi(i=1,2,…,n)．于是
一、定积分的概念
（4）取极限 为了保证每个小区间的长 度都趋近于零，就必须要求小区间长度的最大值 趋于零，若记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，则上述 条件相当于λ→0．当λ→0时(必然是小区间的个 数无限增大，即n→∞)，对上式取极限，就得到 曲边图形的面积
一、定积分的概念
实例2 变速直线运动的路程. 设某物体做直线运动，已知它的速度v=v(t)是时间间隔 ［T1,T2］上的连续函数，且v(t)≥0．该物体在这段时间内所经 历的路程如何计算呢？ 匀速直线运动中，v(t)=常数，则
一、定积分的概念
关于定积分定义的理解，应注意以下几点： （1）定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和 积分区间［a,b］有关，而与积分变量用哪个字母表 示、区间如何分割（采用均匀分割或非均匀分割） 及点ξi的取法（可以取第i个小区间的左端点、右端 点或中点，也可以是区间内任意一点）无关，即有
一、定积分的概念
一、定积分的概念
（1）分割 在［a,b］区间内任取n－1个分点 a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
它们的长度依次为 Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，
过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
它们的长度依次为 Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，
在每个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n个乘 积f(ξi)Δxi的和式
一、定积分的概念
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称 为积分下限，b称为积分上限，［a,b］称为积分区间，“∫”称为积分 号，是拉丁文Summa一词的字头S拉长． 可见，定积分本质上就是一个和式的极限．利用定积分的定义，前面 讨论的两个实际问题可以分别表述如下：
在区间［a,b］上，f(x)≥0时，∫baf(x) 表示由曲线y=f(x)、 x轴及两条直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积．
在区间［a,b］上，f(x)≤0时，由曲线y=f(x)、x轴及两条 直线x=a，x=b所围成的曲边梯形位于x轴的下方，∫baf(x) 在 几何上表示该曲边梯形的面积的负值．
高等数学
（上册）
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本定理 第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 第四节 广义积分 第五节 定积分的应用
第 一节
定积分的概念与性质
1. 实例引入
一、定积分的概念
实例1 求曲边梯形的面积. 设f(x)为闭区间［a,b］上的连 续函数，且f(x)≥0．由曲线y=f(x)， 直线x=a，x=b以及x轴所围成的平 面图形，称为曲边梯形，如图5-1 所示．那么，这个曲边图形的面积 如何计算呢？
此性质可以推广到有限个函数代数和的情形，即 ∫ba［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］
二、定积分的性质
性质3
（线性性质）被积函数中的常数因子可以提到积分 号外，即
(k为常数)．
性质4
（积分区间的可加性）对于任意三个常数a，b，c，下 式恒成立： 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 此性质的几何意义是曲边梯形的面积可以分成两个曲边梯 形面积之和．
二、定积分的性质
性质5
如果在区间［a,b］上f(x)≥0，则
由定积分几何意义知道：此定积分的值就等于以f(x)为 曲边的曲边梯形的面积．
性质6
（比较性质）如果在区间［a,b］上f(x)≤g(x)，则
二、定积分的性质
性质7
（比较性质）在区间［a,b］上
性质8
（积分估值性）设函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最 大值为M，最小值为m，则