第3章 运输问题

第三章 运输问题

在第一章中我们介绍了线性规划问题及其求解方法——单纯形法。但在实际工作中，有一些线性规划问题，由于其数学模型自身构造的特殊性，使得我们可以用一些更方便、更有效的特殊解法。运输问题就是线性规划中常见的、典型的这一类问题，它的数学模型具有特殊的结构，因此也存在着其特殊的解法。

第一节 运输问题及其数学模型

一、运输问题的数学模型

生产经营活动中，经常碰到需要将某种产品从一些生产地运往另一些销售地，并且使总的运费最省。对于这类问题的研究，我们通过一个例子来说明。

【例1】已知某产品有A 1、A 2、A 3三个生产地，其可供应的产量分别为15、25、5吨；有B 1、B 2、B 3、B 4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求量分别为10、12、15、8吨。从A i 运往B j 单位产品的运价如表3-1所示。

表3-1

平衡表 运价表

问如何安排该产品的调运计划，使总的运输费用最省？

解：设ij x 表示从生产地A i 运往销售地B j 产品的数量，则生产地与销售地之间的调运量用表格表示如表3-2所示。

表3-2

由于生产总量与需求总量相等，因此从横向上讲，从某生产地运往各销售地的产品总量应等于该生产地能够生产的数量，即：

1514131211=+++x x x x 2524232221=+++x x x x

534333231=+++x x x x

同理，从纵向上讲，运往某销售地该产品的总量应等于该销售地的需求量，即：

10312111=++x x x 12322212=++x x x 15332313=++x x x 8342414=++x x x

目标函数为运输总费用，它等于从生产地A i 运往销售地B j 产品的数量ij x 与其相应运价乘积的总和。因此，该问题的数学模型为：

34

3332312423222114131211281624123019172221301120m in

x x x x x x x x x x x x Z +++++++++++=

()⎪⎪⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,108

151210

52515

3424143323133222123121113433323124232221

14131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij

将上述问题一般化，可用以下数学语言进行描述。

已知有m 个生产地A i (i=1,2,…,m)可供应某种产品，其生产量为()m i a i ,,2,1 =；有n 个销售地B j 可以销售该产品，其需求量为()n j b j ,,2,1 =；从A i 运往B j 单位产品的运价(单价)为ij c 。设

∑∑===

n

j j

m

i i

b

a

1

1

，将这些资料汇总于表3-3所示。

表3-3

平衡表 运价表

现要制定一个最优的运输方案，使总的运输费用最省。

若用ij x 表示从生产地A i 运往销售地B j 产品的数量，在产销平衡的条件下，该问题的数学模型为：

∑∑===

n

j m

i ij ij

x c

Z 11

min

()()

()

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==n j m i

x n j b x m i a x ij j

m i ij i

n

j ij ,2,1;,2,10,,2,1,,2,11

1 (3.1)

用矩阵形式表示为： CX Z =m in

⎩⎨⎧≥=0

X b AX (3.2)

其中

()

()

()

mn

m m n n n m mn

m m n n x x x x x x x x x X b b b a a a b c c c c c c c c c C ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,212222111211'

2121212222111211 ===

行行列

列

列列n m A n m n n n

⨯⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎡=11

1

1

1

1

1

1

111

1

1

1

1

1

11

在产销平衡的条件下，上述数学模型有m+n 个等式约束条件，有mn 个决策变量，约束条件的系数矩阵A 有m+n 行mn 列，目标函数由运价矩阵n m C ⨯与决策变量n m X ⨯中对应元素相乘求和构成。

二、运输问题的特点

对于平衡运输问题(∑∑===

n

j j

m

i i b

a 1

1

)，可以证明其有如下两个特点：

⑴约束条件系数矩阵A 的秩r(A)＝m+n-1。因为，约束条件(3.1)有且必有一个约束方程是多余的，而且A 中有且必有m+n-1个线性无关的列向量。所以(3.1)的任一基可行解都有m+n-1个基变量，这m+n-1个基变量的值就对应一个可行的调运方案。

⑵问题(3.1)必有最优解，而且当j i b a ,皆为整数时，其最优解必为整数最优解。

第二节 表上作业法

表上作业法是单纯形法求解运输问题的一种简化方法，其求解过程和运用的准则与一般线性规划问题的求解一致。

一、确定初始基可行解

表上作业法中，确定初始基可行解的方法很多，这里结合实际例子介绍几种常用的方法：最小元素法、西北角法和Vogel 近似法。

(一)最小元素法

【例2】以例1为例进行说明。

表3-4

平衡表 运价表

所谓最小元素法(Matrix Minimum)，就是按照通常习惯，优先安排运价最小的产地和销地之间产品的调运量。在平衡表的m ×n 个空格中，选取m+n-1空格，填上适当的运量，以形成一个初始调运方案——基可行解。其中填有运量的格子对应着基变量，没填运量的空格对应着非基变量。具体作法如下所述：

⑴在表3-4的运价表中，最小运价是c 12=11，于是便在平衡表上与c 12对应的空格里填足运量12。即从A 1的15吨产品中，优先供足B 2所需的12吨，同时把B 2的需求量12划去，把A 1的生产量15减去12，改为3，并把运价表中B 2那一列运价全部划去(因为B 2已经满足，这一列的运价下次不再考虑了)。

⑵在未被划去的运价中，再选最小运价c 31=12，并在平衡表中相对应的空格里填足运量5，同时把A 3的生产量5划去，把B 1的需求量10减去5，改为5，再把运价表中A 3对应的第三行运价全部划去(因为A 3已发完，该行运价下次再也不考虑了)。