2.2 传递函数讲解

2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义和性质
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参 数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价 可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进 行分析。
传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响 应的影响。
b1
dr(t) dt

b0 r (t )
b0R(s)
y(0) 0, y' (0) 0 yn1(0) 0
零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉 普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]。对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得
[ansn an1sn1 ... a1s a0 ]Y (s)
【例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入 量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示。
二、 惯性环节
一阶微分方程： T dy(t) y(t) r(t) dt
传递函数：G(s) Y (s) 1 (T是时间常数） R(s) Ts 1
方框图：
R(s) 1/(Ts+1) Y (s)
G(s) 1 Ts 1
G(s)

1 s
理想: G(s) Td s
一阶: G(s) Td s 1
二阶: G(s) Td 2s2 2Td s 1
实际:
G( s )

Td s Td s 1
G(s)

T
2s2

1
2Ts
1
G(s) e s
特点
同步变化,不失真,不延时 跟随输入,存在时间上的延迟
G(s) F(s)
1
1 X (s) ms2 fs k
T 2s2 2Ts 1
n2

1/ m
s2 fs / m k / m
s2 2ns n2
特点：
1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。
如动能与位能、电能与磁能间转换。
2、能量转换过程中使输出产生振荡。
(2)实际微分环节 微分方程：
Td
dy(t) dt

y(t)
Td
dr(t) dt
传递函数：
G s Td s
Td s 1
C ui (t) i(t)
R uo (t)
G(s)

Uo (s) Ui (s)

R R
1
Cs
RCs s RCs 1 s 1
RC时间常数
y(t) 1 et T
t0
r(t)
y(t)
0.95 0.98 0.99
0.87
0.63
T 2T 3T 4T 5T

1 s

s
1
1
T
在单位阶跃输入
信号的作用下，
惯性环节的输出
信号是指数函数。
当 时 间 t=(3~4)T
时，输出量才接
t
近其稳态值。
三、 积分环节
微分方程： 传递函数：
方框图：
传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的
阶次m，此时称为n阶系统。
[例]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
TaTm
d 2
dt 2
Tm
d
dt


Kuua

Km (Ta
dmc dt

mc )
方程两边求拉氏变换为：
(TaTms2 Tms 1)(s) KuUa (s) Km (Tas 1)Mc (s)
r (t ) 微分方程：
y(t) r(t )
0
t 传递函数： G(s) e s
y(t)
0
方框图： t
e R(s) s Y (s)
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G(s)

e s

1 e s

1s
1
1 2s2

2! G(s) es 1
当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：
科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函 数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了
输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。
传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入
信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概 视为零。
y(t) r(t)dt
G(s) 1 s
R(s) 1/s Y (s)
特点：输出正比于输入对时间的积分。
【例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，
求输出量 y(t) 。
解：输入为阶跃信号时，
C
R
R(s) 1 s
r (t )
A
y (t )
Y (s) G(s)R(s)
ansnY (s)
an1sn1Y (s)
a1sY (s) a0Y (s)
bmsmR(s) an
d
n y(t) dt n

an1
d
n1 y(t) dt n1

...
a1
dy(t) dt

a0
y (t )

bm
d mr(t) dt m

bm1
d m1r(t) dt m1
...
可得出输出量的拉氏变换
Y (s) G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
G(s) L[ y(t)] Y (s) L[r(t)] R(s)
意义：
R(s) G(s) Y (s)
Y (s) R(s)G(s)
二、传递函数的求法
线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为
五、 微分环节
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t)
Td
dr(t) dt
t0
G(s) Td s 式中，Td 为微分时间常数
纯微分电路
G(s) Uo(s) Ui (s)

R 1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数n 总是大于分子多项
式的阶数m ，即n m 。
2）分母的阶数：n 阶系统
s 3）分子分母都是 的有理多项式。
2、零极点形式
m
G(s) Kg (s z1) (s p1)
(s zm) (s pn )

Kg
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
3、典型环节的形式（时间常数形式）
m
(is 1)
G(s) K
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
i

1 zi
m
Tj

1 pj
K ──时间常数形式传递函数的增益；
zi
通常称为传递系数。
K Kg
i 1 n
输出随时间无限的增加
这些微分环节的传递函数没有 极点，只有零点。由于n<m,一 般不会单独存在,实际微分环节 是加入惯性环节的实现.
两种形式的能量转换过程中使输 出产生振荡。 输出和输入相同仅延迟时间τ； 不失真
说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输
出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数
[bmsm bm1sm1 ... b1s b0 ]R(s)
则有
Y (s)

bmsm bm1sm1 ... b1s b0 ansn an1sn1 ... a1s a0
R(s)
令
G(s)

bm s m an s n

bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化， 存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟 的时间也越长。
【例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变
换 R(s) 1 s ，求输出量 y(t) 。
解：
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
Y (s) G（s) R（s) 1 1 Ts 1 s
控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。
一、比例环节
微分方程： y(t) Kr(t)
传递函数： G(s) K(增益、放大系数）
方框图：
R(s)
Y (s)
K
特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测 量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等， 在一定条件下都可以认为是比例环节。
实际微分电路
当τ<<1时，才近似为纯微分环节。
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)
Td
dr(t) dt
r(t)
传递函数： G(s) Td s 1
G(s) Uo(s)
Ui (s)


R1
R2 // 1
Cs


R2 R1
(R1Cs
1)

K
(Td
s
1)
其中， K R2 R1
1 s
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特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
G(s) K
Td R1c
二阶微分环节
微分方程：
y(t)

T
2
d 2r(t) dt 2

2 T
dr(t) dt

r(t)
传递函数： G(s) T 2s2 2 Ts 1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节

M (s) N (s)
j 1
上式中
Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ；
-zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点；
Kg
bm an
-pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
N(s)=0是控制系统的特征方程式。－zi、－pj可为实数、虚数、或复数。 若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)Mc (s) Gu (s) Gm(s)UMac((ss))
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
说明：
G(s)

bm s m an s n

bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0

11 ss

1 s2
y(t) t
输出量随时间成正比地无限增加
四、 振荡环节
微分方程： 传递函数：
T2
d 2 y(t) dt 2
2T
dy(t) dt

y(t) r(t)
1
G(s) T 2s2 2Ts 1

n2
s2 2n s n2
(T 1 为时间常数)
n
(n为自然角频率，为阻尼比，0 1表示振荡环节)
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
m d 2x f dx kx F (t) dt2 dt
它的传递函数为
pj
j 1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
令M c (s) 0 ，得转速对电枢电压的传递函数：
Gu
(s)

(s) Ua (s)

Ku TaTms2 Tms
1
令Ua (s) 0 ，得转速对负载力矩的传递函数：
Gm (s)

(s) Mc (s)

Km (Tas 1) TaTms2 Tms 1
最后利用叠加原理得转速表示为：