10-球面坐标系下计算三重积分PPT
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球面坐标下计算三重积分
一、球面坐标介绍
x
y
z
o
ϕ
r
∙
∙
θ
A
π
θ≤≤0的球面坐标．
就叫做点，
，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设M r xoy M P OP x z z OM M O r r M z y x M ϕθϕθϕθ),,(,
r +∞<≤0.
20πϕ≤≤,0πθ≤≤),,(z y x M )
0,,(y x P
⎪⎩
⎪
⎨⎧===.cos ,sin sin ,
cos sin θϕθϕθr z r y r x 球面坐标与直角坐标的关系为
如图，P
x
y
z
o )
,,(z y x M ϕ
r
∙
∙
θ
z
y
x
A
，
轴上的投影为在点，
面上的投影为在设点A x P P xoy M .
,,z PM y AP x OA ===则
为常数
r 为常数
θ为常数
ϕ如图，三坐标面分别为
圆锥面；球面；半平面．
二、直角坐标到球面坐标的变换公式
⎰⎰⎰
Ω
=
dxdydz z y x f ),,(⎰⎰⎰
Ω
.
sin )cos ,sin sin ,cos sin (2
ϕθθθϕθϕθd drd r r r r f 球面坐标系中的体积元素为
,
sin 2
ϕθθd drd r dV =ϕ
d r
x
y
z
o
dr
ϕ
θd r sin θ
rd θ
d θ
ϕ
ϕ
d θ
sin r
三、例题
例1 计算 ⎰⎰⎰Ω
+=dxdydz y x I )(2
2
，其中Ω是锥面2
2
2
z y x =+，
与平面a z =)0(>a 所围的立体.
a z = ,cos θ
a r =⇒2
22z y x =+,
4
π
θ=⇒,
20,4
0,cos 0:πϕπ
θϕ≤≤≤≤≤≤Ω∴a r 解采用球面坐标：
⎰⎰⎰Ω
+=dxdydz
y x I )(2
2dr
r d d a ⎰
⎰
⎰
=40
cos 0
3
420
sin π
θπ
θθϕθ
θ
θππ
d a
)0cos (51sin 255
403
-⋅=⎰.10
5
a π=