北师版高数必修五第5讲：等比数列的前n项和公式

等比数列的前n 项和公式

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教学重点： 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质，理解等比数列前n 项和公式与函数的关系 教学难点： 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用

1. 等比数列前n 项和通项公式

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12...n n S a a a =+++ （1） 当1q =时，1n S na = （2） 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

2. 等比数列前n 项和公式的性质

（1） 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（注意：

公比1q ≠-）

（2）

{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=

（3） m

n m m n S S q S +=+（q 为公比）

（4） 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则

S

S

偶/奇

q = ；

若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则

S a

S

- 奇/偶q =

3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系

（1） 当 1q =时，1n S na =是关于n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当1q ≠时，

()0n n S Aq A A =-+≠是n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且1

1a A q

=

- （2） 当1q =时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的

点；当1q ≠时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数()0x y Aq A A =-+≠的图像上的一群孤立的点。

（3） 若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且()0,1n n S Aq A Aq q =-≠≠则数列{}n a 是等比

数列。

类型一：等比数列前n 项和通项公式

例1． 在等比数列{}n a 中，若189,2,96,n n S q a ===求1,a n 解析：由()1111,1n n n n a q S a a q q

--=

=⋅-以及已知条件得

()()111121891

121111962962192,189211923232,63n n a n n n a a a a a n --=--=⎧⎪∴⋅=∴=-=-∴===∴=⎨⎪⎩

Q 答案：13,6a n ==

练习1. 在等比数列{}n a 中，若13465

10,4

a a a a +=+=

，求4a 和5S 答案：45311,2

a S ==

练习2. 在等比数列{}n a 中，若42,1,q S ==求8S 答案：817S =

例2.等比数列{}n a 中，已知333,9,a S ==求1a 和公比q

解析：当1q =时，13313,39a a S a ====符合题意；当1q ≠时，由已知得

()2311332

191210,a a q a q S q

q q ==-==-⎧⎪∴--=⎨⎪⎩ 解得12q =-或1q =（舍）1111121,3;,122a q a q a ∴=∴===-= 答案：111

1,3;,122

q a q a ===-=

练习3.已知数列{}n a 满足124

30,,3

n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 答案：()

10313--

练习 4.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若224432,32,S a S a =+=+则q 为____ 答案：

32

类型二： 等比数列前n 项和公式的性质

例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 解析：{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又

()2

102030

30301010,30,30,7010

S S S S -==∴-=

∴=

答案：70

练习5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知368,7,S S ==则789a a a ++= （） A.

18 B.18- C.578 D.55

8

答案：A

练习6.已知等比数列的前n 项和1

3,,n n S a n N ++=+∈则实数a 的值是（）

A.-3

B.3

C.-1

D. 1 答案：A

类型三： 等比数列前n 项和公式与函数关系

例4.若等比数列{}n a 中，前 n 项和2n

n S a =+，则a =（）

A.-2

B.2

C.1

D.-1