成本最小化

利用代数方法求最小成本条件

如果要保持产量不变，则生产方式的任意改变必 须满足： △X1· MP1+△X2· MP2=0 … ⑴ 即：△X1和△X2一定具有相反的符号 如果我们最初处在成本最小化的点上，那么，这 种变动就不可能降低成本，即：△X1W1+△X2W2≧0 而如果变动为(-△X1,-△X2)，也不可能降低成本， 因此，-△X1W1-△X2W2≧0 所以： △X1W1+△X2W2=0
一、成本最小化


假设存在两种生产要素X1和X2，价格分别为W1 和W2，厂商的生产函数为f(X1,X2)。现在，我 们要找到实现产量Y最经济的途径，即：使企 业生产Y的成本最小，这个问题用数学可以表 达为： min X1W1+X2W2 S.T f(X1,X2)=Y 为实现合宜的产量水平而必须的最小成本—— 取决于W1、W2和Y的值。记作C(W1,W2,Y)。这个 函数被称作成本函数。他度量的是当要素价格 为W1和W2时，生产Y单位产量的最小成本。
利用图形求最小成本

寻找实现产量为Y的带来最低成本的要素组合。 在每个要素组合点，该点带来的成本都可以表示为： X1W1+X2W2=C X2 最小成本 即：X2=C/W2-W1/W2· X1
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实现最小成本 这就是等成本曲线。 的要素组合 斜率为：-W1/W2 X2 * Y 纵截距为：C/W2 -W1/W2 O X1 X1 * 最小化问题： 在等产量曲线上寻找位于最低等成本曲线上的点。





长期成本函数：表示在一切生产要素都可以自由调整 的情况下，生产既定产量时的最小成本和产量的关系。 该函数表示为： Cs（Y）=min X1W1+X2W2 使得： f(X1,X2)=Y 由于两种要素都可以变动，长期成本仅与既定要素价 格下的产量有关。 求得： X1=X1(W1,W2,Y); X2=X2(W1,W2,Y) C（Y）=W1X1(W1,W2,Y)+W2X2(W1,W2,Y) 最小成本就是厂商利用成本最小化的要素选择所产生 的成本。


以上结论可以用平均成本函数的变化来说明。
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AC(Y)= C(W1,W2,Y)/Y 如果规模报酬不变，则 AC(Y)= C(W1,W2,1)Y/Y= C(W1,W2,1) 如果规模报酬递增，则随着产量的增加，平均 成本将趋于下降。 如果规模报酬递减，则随着产量的增加，平均 产量将趋于下降。 该结论表明，平均成本函数在不同的产量水平 上可能会递减、不变或递增。 由于企业面临的价格是既定的，成本只取决于 厂商对产量的选择，即C(Y)。



… ⑵

根据⑴和⑵得到：△X2/△X1=-MP1/MP2=-W1/W2
根据成本函数和生产函数求最小成本。
例1：某个企业的生产函数为: f(X1,X2)=(X11/2+3X21/2)2，要素1的价格是1，要 素2的价格是1，求生产16单位产品的最小成本。 解： min X1+X2 S.T (X11/2+3X21/2)2=16 … ⑴ 方法一：将X2用X1代替，转化成一元方程 方法二：利用-MP1/MP2=-W1/W2，得出: -(1/3)(X1/X2)1/2= -1 … ⑵
四、长期成本和短期成本





短期成本函数：只有可变要素可以调整的情况下，生产 既定产量时的最小成本与产量的关系。假定要素2短期是 固定的，则该函数为： Cs（Y,X2）=min X1W1+X2W2 使得： f(X1,X2)=Y 因此，在短期内，生产产量为Y的最小成本取决于不变要 素的投入量和要素的价格。 求得： X1=X1s(W1,W2,X2,Y); X2=X2 即：在短期内，在任何既定价格和产量下，变动要素的 投入量取决于固定要素的投入量 Cs（Y,X2）=W1X1s(W1,W2,X2,Y)+W2X2 即最小成本就是与成本最小化的要素选择有关的成本。
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成本最小化的条件


如果每一种要素都要求使用一定的数量，并且， 等产量曲线是一条光滑的曲线，那么，最小成 本化的点就可以用相切的条件来表征：等产量 曲线的斜率必定等于等成本线的斜率。即技术 替代率必定等于要素的价格比率： -MP1/MP2=-W1/W2 注:如果是角点解或者等产量曲线是折拗的， 那么相切条件就不需要得到满足，这同消费理 论相似。

联立⑴和⑵得到：X2=9X1=144/100，C=160/100


例2：假设企业的生产函数为f(X1,X2)=X1+X2， 企业面临的要素价格为(W1,W2)，厂商的最小成本 原则是使用相对较便宜的要素。厂商的最小成本 是：C(W1,W2,Y)=min{W1Y,W2Y}。 例3：假设企业的生产函数为f(X1,X2)={X1,X2}， 当厂商要生产的产量为Y时，他就需要Y单位的X1 和Y单位的X2。因此，最小成本为： C(W1,W2,Y)=W1Y+W2Y
三、规模报酬和成本函数

1、在规模报酬不变的情况下，成本是产量的线性函数。 即如果生产1单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)，则生 产Y单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)· Y。 2、在规模报酬递增的条件下，成本的增长幅度小于产 量的增长幅度。如果厂商决定使产量翻一倍，只要要 素的价格不变，厂商成本的增长将小于1倍。即成本函 数的增长线性地小于产量增长。 3、在规模报酬递减的条件下，成本的增长幅度大于产 量的增长幅度。即成本函数的增长线性地大于产量的 增长。
第20章
成本最小化
本章主要研究的内容



最大利润化策略分为两个步骤：第一步，选择 最有利可图（带来最大利润）的产量；第二步， 对既定的产量实现成本最小化。 如何选择带来最大利润的产量：MR=MC;以及带 来该利润最优的要素投入量：MP1=W1/P 如何对既定的产量实现成本最小，即厂商要如 何找到实现既定产量最经济的途径，也即厂商 如何选择最优的要素投入决策。 ——这是我们 今天考察的内容。
有条件的要素需求函数

X1(W1,W2,Y)和X1(W1,W2,Y) 它度量的是厂商生产某个既定产量Y的条件下， 价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关 系。
二、显示的成本最小化


如果厂商总是选择成本最小化的方法生产Y 单位的产量，那么，在t期和在s期的选择 必须满足下述等式： t t t t t s t s X1 W1 +X2 W2 ≦ X1 W1 +X2 W2 s s s s s s s s X1 W1 +X2 W2 ≦ X1 W1 +X2 W2 这些不等式被称作成本最小化的弱公理。