第四节反常积分无穷限广义积分无界函数的广义积分习题例题小结

,
0
x
2.
x 1 , 2 x
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne x dx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx；
0 (1 x 2 )2
7、 1 lnn xdx . 0
三、求当 k 为何值时 ，广义 积分 b dx a (x a)k
(b a)
收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？
0 , x 0
四、已知
f
(x)
1 2
x
,
0
x
2
，试用分段函数表示
1 , 2 x
x f (t)dt .
练习题答案
一、1、p 1, p 1；2、q 1 , q 1 ； 3、k 1 , k 1 ； 4、发散； 5、1； 6、过点 x 平行于 y 轴 的直
1
0
1 xq
dx
1
0
1 x
dx
ln
x
1
0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ；
1q
当q 1时广义积分发散.
2 dx
例7
计算广义积分
1
. x ln x
解
2 1
dx x ln x
lim 0
2 1
dx x ln x
lim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim ln(ln
0
x)
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
思考题
积分
1பைடு நூலகம்
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1不是瑕点, x1 x 1 x1 x
三、小结
无穷限的广义积分
f ( x)dx
b
f
( x)dx
a
f
( x)dx
无界函数的广义积分（瑕积分）ab f ( x)dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
例
6
证明广义积分01
1 xq
dx 当q
1 时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
线左边,曲线 y f ( x)和 x 轴 所围图形的面积 .
二、1、 p ； p2 1
2、 ；
3、n! ；
4、发散；
5、2 2 ； 3
6、0； 7、(1)n n!.
三、当k 1时收敛于 1 (b a)1k ； 当k 1 时发散. 1 k
0 , x 0
四、
x
f
(t )dt
1 4
x2
1
0
ln x dx 的瑕点是
x1
x
0.
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______时发 1 xp 散；
2、广义积分 1 dx 当_______时收敛；当_______时发 0 xq 散；
3、广 义 积 分 dx 在 ______ 时 收 敛 ； 在 2 x(ln x)k _______ 时发散；
4、广义积分 x dx =____；
1 x2
5、广义积分 1 xdx ________； 0 1 x2
6、广 义 积 分
x
f (t )dt
的几何意义是
______________
________________________.
二、 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算
广义积分的值：