数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

知识网络：

目标认知

考试大纲要求：

1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；

2.掌握常见的求数列通项的一般方法；

3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.

4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

重点：

1.掌握常见的求数列通项的一般方法；

3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

难点：

用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

知识要点梳理

知识点一：通项与前n项和的关系

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.迭加累加法：

，

则，，…，

2.迭乘累乘法：

，

则，，…，

知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

规律方法指导

1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；

2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：

（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；

（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.

经典例题精析

类型一：迭加法求数列通项公式

1．在数列中，，，求.

解析：∵，

当时，

，

，

，

将上面个式子相加得到：

∴（），

当时，符合上式

故.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.

2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求

的，则可用多式累（迭）加法得.

举一反三：

【变式1】已知数列，，，求.

【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式.

【答案】.

类型二：迭乘法求数列通项公式

2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.

解析：由题意

∴

∵，∴，

∴，

∴，又，

∴当时，，

当时，符合上式

∴.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若

不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.

2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用

多式累（迭）乘法求得.

举一反三：

【变式1】在数列中，，，求.

【答案】

【变式2】已知数列中，，，求通项公式.

【答案】由得，∴，

∴，

∴当时，

当时，符合上式

∴

类型三：倒数法求通项公式

3．数列中，,，求.

思路点拨：对两边同除以得即可.

解析：∵，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为d=5，首项，

∴，

∴.

总结升华：

1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.

2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，

再求得.

举一反三：

【变式1】数列中，，，求.

【答案】

【变式2】数列中，,，求.

【答案】.

类型四：待定系数法求通项公式

4．已知数列中，，，求.

法一：设，解得

即原式化为

设，则数列为等比数列，且

∴

法二：∵①

②

由①－②得：

设，则数列为等比数列

∴

∴

∴

法三：，，，……，

，

∴

总结升华：

1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列

转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.

2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.