直线与圆的位置关系弦长及切线方程
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直线与圆的位置关系
无交点时
图形
圆心到直线距离 d 与圆半径r之间关系
值情况
1、直线和圆相离
有一个交点时
C2
d r
0
2、直线和圆相切
有两个交点时
C2
d r
d r
0 0
1
3、直线和圆相交
C2
几何方法 代数方法
直线与圆位置关系的判定
典型例题1
判断直线x 2 y 4 0和圆x ( y 1) 7 相离 的位置关系______
解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1）， 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d 1 2 2 2 1 m 1 m 1 m m
B
d r
A
l
几 m R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3：mx-y+1-m=0过定点（1，1）而 法 （1，1）在圆内，所以直线与圆相交。
故当m 2 5时，直线被圆截得的弦长为2
直线与圆相切问题
例3、 (1).求经过点(3,4)与圆x y 25相切的切线方程
2 2
（2） .求经过点(1, 7)与圆x2 y 2 25相切的切线方程 并求切线长
总结:如何过一点求已知圆的切线?
7
求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：
O
例3直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程
(2,2)
直线l与圆相切，所以有： k 1 y 0 2k 2 k 2 d 1 2 2 1 k 1 k 3 解得： k 4
3 y 2 ( x 2) 所以直线方程为： 4
2
x
结束 返回 下一页
x 2 ( y 1)2 5 （1）由 得 解法1： mx y 1 m 0
（2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
B
代 数 方 法
(1+m ) x 2m x m 5 0*
2 2 2 2
A
则 4m 4(m 1)(m 5) 16m 20
（1）几何法： 设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切 线斜率即可求出。
（2）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 代入圆方程得 一个关于x的一元二次方程， 由 0 求k.
(若斜率不存在或斜率为0,则可以直 接判定过定点的直线是否与圆相切, 进而确定 k的取值.)
4
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值 B
d r
A
l
(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 d 5 ,即 2 4 4 1 m 4
4 2 2 2
l
m R, 总有 0
因此所证命题成立
3
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
8
变式演练4
求与直线y x 2平行且与圆 ( x 2) ( y 3) 8
2 2
相切的直线的方程
5.已知圆x2+y2=8，定点p(4,0)，问过p点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
9
直线与圆的位置关系
解：①当k不存在时，过(2,2)的直线x=2也与 y 2 圆相切。 ②当K存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2）， 由已知得圆心的坐标为（1，0），因为
因为直线与圆无公共点， d r ,即 m
m 2 (1)
2 2
m 5
,
5 故当m 5或m 5时，直线与圆无公共点。
（2）如图，有平面几何垂径定理知
5 m 5或m 5
y d r 0 x
m r d 1 , 即5 1得m 2 5 5
2 2 2 2
2 2
17 2 r d ( ) 2
2 2
得m 2 3则m m 的值为 3
3
5
变式演练1
m为何值时，直线2 x y m 0与圆x y 5
2 2
（1）无公共点；（2）截得弦长为2；
解： (1)由已知，圆心为O(0,0), 半径r
5,
圆心到直线2 x y m 0的距离d
10
2 2
灵活应用:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12Hale Waihona Puke Baidu0与 直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A ) A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
2
圆的弦长
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点；
无交点时
图形
圆心到直线距离 d 与圆半径r之间关系
值情况
1、直线和圆相离
有一个交点时
C2
d r
0
2、直线和圆相切
有两个交点时
C2
d r
d r
0 0
1
3、直线和圆相交
C2
几何方法 代数方法
直线与圆位置关系的判定
典型例题1
判断直线x 2 y 4 0和圆x ( y 1) 7 相离 的位置关系______
解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1）， 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d 1 2 2 2 1 m 1 m 1 m m
B
d r
A
l
几 m R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3：mx-y+1-m=0过定点（1，1）而 法 （1，1）在圆内，所以直线与圆相交。
故当m 2 5时，直线被圆截得的弦长为2
直线与圆相切问题
例3、 (1).求经过点(3,4)与圆x y 25相切的切线方程
2 2
（2） .求经过点(1, 7)与圆x2 y 2 25相切的切线方程 并求切线长
总结:如何过一点求已知圆的切线?
7
求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：
O
例3直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程
(2,2)
直线l与圆相切，所以有： k 1 y 0 2k 2 k 2 d 1 2 2 1 k 1 k 3 解得： k 4
3 y 2 ( x 2) 所以直线方程为： 4
2
x
结束 返回 下一页
x 2 ( y 1)2 5 （1）由 得 解法1： mx y 1 m 0
（2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
B
代 数 方 法
(1+m ) x 2m x m 5 0*
2 2 2 2
A
则 4m 4(m 1)(m 5) 16m 20
（1）几何法： 设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切 线斜率即可求出。
（2）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0), 代入圆方程得 一个关于x的一元二次方程， 由 0 求k.
(若斜率不存在或斜率为0,则可以直 接判定过定点的直线是否与圆相切, 进而确定 k的取值.)
4
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值 B
d r
A
l
(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 d 5 ,即 2 4 4 1 m 4
4 2 2 2
l
m R, 总有 0
因此所证命题成立
3
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
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变式演练4
求与直线y x 2平行且与圆 ( x 2) ( y 3) 8
2 2
相切的直线的方程
5.已知圆x2+y2=8，定点p(4,0)，问过p点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
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直线与圆的位置关系
解：①当k不存在时，过(2,2)的直线x=2也与 y 2 圆相切。 ②当K存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2）， 由已知得圆心的坐标为（1，0），因为
因为直线与圆无公共点， d r ,即 m
m 2 (1)
2 2
m 5
,
5 故当m 5或m 5时，直线与圆无公共点。
（2）如图，有平面几何垂径定理知
5 m 5或m 5
y d r 0 x
m r d 1 , 即5 1得m 2 5 5
2 2 2 2
2 2
17 2 r d ( ) 2
2 2
得m 2 3则m m 的值为 3
3
5
变式演练1
m为何值时，直线2 x y m 0与圆x y 5
2 2
（1）无公共点；（2）截得弦长为2；
解： (1)由已知，圆心为O(0,0), 半径r
5,
圆心到直线2 x y m 0的距离d
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2 2
灵活应用:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12Hale Waihona Puke Baidu0与 直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是( A ) A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
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圆的弦长
2.已知圆C : x ( y 1) 5, 直线l : mx y 1 m 0
2 2
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点；