量子力学第二章

则有：
t
2


x
y


2 2
z
i
2m
U ( r , t )
2
引入哈密顿算符
(Hamiltonian operator)
ˆ H

2
U (r , t ) ，
2
2m
ˆ H
பைடு நூலகம்
它对应于粒子的总能量， 称
为能量算符。 5
用哈密顿算符表示薛定谔方程：
0
2
令
ik 2
2m ( E U 0 )
2
d 2 dx
2
( ik2 ) 2 0 24
2
3. 通解
1 ( x ) Ae
2 ( x ) Ce
ik 1 x
入射+反射
Be
ik 1 x
1
n
pn
h
n
n
2a n
德布罗 意波长
上式表明，德布罗意波具有驻波的形式 （势阱边界为波节）。 每一个能量的本征态， 对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。 由于势阱中德布罗意波只有形成驻波才能 稳定，所以也可以反过来说，势阱中的能量
19 是德布罗意波形成驻波的必然结果。 量子化，
3. 波函数
经典波动方程：

2
t
2
u
2 2
（时间二阶） 7
三.定态薛定谔方程
i t ˆ (r , t ) (r , t ) H
若 U U ( r ) 与t无关，则薛定谔方程可分离变量。
ˆ 2 U (r , t ) H 2m
2
设
d T( t ) ˆ ( r )]T ( t ) ( r , t ) ( r ) T ( t ) ，则 i (r ) [ H

d
2m
d x
ˆ H E
d
2
d x
2

2 mE
2

∵ E > 0，
∴ 可令
d
2 2
2 mE
2
k
2
d x
2
k 0
通解： ( x ) A sin kx ） （ 待定常数A、由 应满足的物理条件决定。
以上的解已自然满足单值，有限的条件。
14
连续条件： 由于边界外 =0，所以有：
3
一. 含时薛定谔方程 若粒子在势场中，势能函数为U(x,t) ，
则
又
E
p
2
U ( x,t)
推广到 算符

2m
ˆ E
ˆ2 px 2m
U ( x,t)
2 2 ˆ i ， p 2 ( i ˆx ) ， E 2 x t x

2
所以有算符等式：
i
t
i
d T (t ) dt
ET ( t )
i Et
d T (t ) T (t )

i
Edt
T (t ) A e
0
——振动因子
2
式中E具有能量量纲，A0 可以是复数。 方程
ˆ (r ) E (r ) H
[ U ( r )] ( r ) E ( r )
ka / 2 n / 2 , n 2，，， （ k 0 n 0） 4 6
ka / 2 n / 2 , n 1，，， 3 5
两者合并在一起，可得
ka n , n 1，，，，， 2 3 4 5
2
由
得
2 mE
2
k
（
2 2
n a
n ( x)
2
E3 E2 E1
a 2
n 3
En
a 2 a 2
n 2
n 1
0
a 2
x
量子 经典 玻尔对应原理22
§2.3 势垒穿透（barrier penetration）
一. 粒子进入势垒
1.势函数
粒子从 x = - 处以能量 E 入射，
U(x) U0 透射
（一维势垒）： 给定势函数
i t ˆ H
—含时态薛定谔方程
以上是非相对论、不发生实物粒子产生和淹
灭（可发射、吸收）时粒子波函数满足的方程， 它是非相对论量子力学的基本方程。
给定U ( r , t )， 解该方程就能给出 ( r , t ) 。
6
二. 关于薛定谔方程的讨论 薛定谔方程
i t ˆ (r , t ) (r , t ) H
0 ，( x 0) U (x) ( U 0， x 0 )
入射 反射 Ⅰ区
？E
入射能量 E <U0 势垒的物理模型：
0 Ⅱ区
x
金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。 23
2. 定态薛定谔方程
U(x)
U0 E

I 区（x 0）：

2
d 1( x)
2
2m
2
d x
1 2
2
E 1( x)

i
Ent
（驻波解）
该函数称“能量本征波函数”， 每个本征波 函数所描写的状态称粒子的“能量本征态”。
概率密度： | n ( x , t ) | | n ( x ) |
2
2
21
用图表示上述结果：
E
n(x)
n ( x)
2
显然，势阱内粒子出现 概率与经典情况不同。
E4
n 4
但n很大时，粒子在势 阱内的分布趋于均匀
粒子运动规律的学科 —量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，是 不能够由其它基本原理推导出来的。它最初只 是一个假定， 后来通过实验检验了它的正确性。
薛定谔因此获得了1933年的诺贝尔物理奖。 2
1933年诺贝尔 物理学奖获得者 ——薛定谔
• 奥地利人 • Erwin Schrodinger • 1887-1961 • 创立量子力学
12
一.一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U=U0 E U=U0 U→∞ 极
U(x)
U→∞ E
a /2
U=0
0 金属
限
U=0
x
a
x a / 2 U (x) ，
x 0 a /2 无限深方势阱 （potential well）
0

2 2 2
13
ˆ x a / 2 U (x) 0 ， H
2n 1 n
2
E1

2
2 2
0
——零点能
2
能级间隔
Δ En En
n 1
2 n

1 n
a Δ En ， m
n
Δ En En

18 宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。
2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系，有
p 2 mE
是量子力学
的一个“基本假定”。
所以它的 1. 薛定谔方程是线性偏微分方程， 解满足态叠加原理。
和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c 1 1 ( r , t ) c 2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。
若 1(r , t )
2. 薛定谔方程关于时间是一阶的， 这不同于
▲
波函数的空间部分
o A sin kx A sin
n a n
4 6 x o n （ n 2，，， ） 3 5 x e n （ n 1，，， ）
e A cos kx A cos
a
归一化条件：
1 a / 2 o n
a/2 2
d x A a / 2 sin
A 2 a
2
a/2
2
n a
d x
a 2
A
2
由此得
20
所以有能量本征函数：
on
a 2 sin n a
4 6 x （ n 2，，， ）
x
a 2
en
a 2
cos
n a
x （ n 1，， ） 3 5
x
a 2
0
▲ 全部波函数
考虑振动因子有 n ( x , t ) n ( x ) e
双方同除 ( r ) T ( t ) ，
i d T( t ) dt 1 1
dt
则有： －必须为常量
ˆ (r ) E H T (t ) (r )
分别有：i
d T (t ) dt
ET ( t )
和
ˆ (r ) E (r ) H 8
方程 解为
这种E取定值的状态称定态（stationary state）。 10
以后我们只研究定态。 海森伯（Heisenberg，德，1932，Nob)， 狄拉克（Dirac，英，1933， Nob ），泡利 （Pauli，美，1945， Nob)，都对量子力学 做出了重要的贡献。
海森伯
狄拉克
泡利
11
§2.2 无限深方势阱中的粒子
令
即
l

2
，
l 也是整数
15
l 取0或1时 (x) 有以下两种表示：
▲ ▲
l = 0 时，= 0， o
A sin kx A cos kx
是奇函数
(odd function)
l = 1 时， = /2， e
是偶函数
(even function)
所得解与o(x)、e(x) l 为其他整数值时， 1. 能量 E
本节我们将在一种具体情况下，求解

2
定态薛定谔方程
[
U ( r )] ( r ) E ( r )
2
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解。 从物理上来讲：E只有取一些特定值该方程 的解才能满足波函数的条件单值、有限、 连续， 特定的E值称为能量本征值。 特定的E值所对应的方程称为能量本征值 方程， 相应波函数称为能量本征函数。
p x
( x , t ) ( x ) T (t ) B0e
A0 e

i
Et
i 令 ( Et p x ) —自由粒子的波函数 0e
E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。
Et 一般情况下： ( r , t ) ( r ) A 0 e i
形式相同（可能差正、负号，但不影响| |2）。 但能否E = 0呢？ 从能量的意义看，应有E 0， 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系知，动量的不确定量应不为零， 所以动量P > 0， E > 0
k 2 mE 016。
能量 E 能连续吗？ 由 由
o ( a / 2 ) A sin( ka / 2 ) 0 e ( a / 2 ) A cos( ka / 2 ) 0
第二章
薛定谔方程
（Schrodinger equation）
§2.1 薛定谔得出的波动方程
§2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
1
§2.1 薜定谔得出的波动方程
1925年薛定谔在介绍德布罗意波的报告后, 德拜指出：“对于波，应该有一个波动方程。”
几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足的 从而建立了描述微观 微分方程 — 薛定谔方程，
1
Ⅰ区
2
0 Ⅱ区
2 mE
2

d d x

2 mE
2

1
0
x

2
令 k1
， 1 0， k
有
d
2 2
d 1
2
dx
2m d x U0
2
2

2 k1
1 0
II 区（x > 0）：
d
2
2
E 2
dx
2 2
2m 2（ E U 0）
， 2 0， 有 k


2


2 2
2m
x
U
把“算符等式”双方作用在上，就得到：
i t


2


2 2
2m
x
U
一维势场中的 薛定谔方程 4
三维： i
t


2
2m x
(

2 2


2 2
y

2 2

2 2
z

) U ( r , t )

2 2
引入拉普拉斯算符： 2
）
n 1，，， 2 3
17
2
En

2 ma
2
n
2
这表明，束缚在势阱内的粒子的能量只能取 离散值En ——能量量子化， 每一能量值对应 一个能级，En称为能量本征值， n称为量子数。 最低能量
2 ma 2 2 1 Δ E n E n1 E n ( 2 n 1) 2 2 ma ma
2
2m
其解依赖于U ( r ) 的形式。 称为定态薛定谔方程，
对自由粒子， U = 0，其一维定态薛定谔方程：

2

d (x)
2
2m
d x
2
E ( x)
9
i
该方程的解为 若令
p
( x ) B0e
2 mE x
i
则 2 mE ，
( x ) B0e
i p x
( a / 2 ) 0 A sin( ka / 2 ) 0
( a / 2 ) 0 A sin( ka / 2 ) 0
由此得： ka
/ 2 l 1 ， ka / 2 l 2 ，
其中l1 和 l2是整数。 于是得：
2 l 1 l 2 ) l ， （