2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-4-3 正切函数的性质与图象

第一章
1.4 1.4.3
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1 2．函数 y＝ sinx＋1 的值域是________． 2
1 3 ， 2 2
[答案]
[解析]
∵－1≤sinx≤1，
1 3 ∴原函数的值域为2，2.
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kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ 3 ＋18，k∈Z .
π π π 令 kπ－ <3x－ <kπ＋ (k∈Z)， 2 3 2 kπ π kπ 5π 即 3 －18<x< 3 ＋18(k∈Z)．
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第一章
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[解析]
1 1 (1)y＝tan(－2x)＝tan－2x－π
1 ＝tan－2x＋2π，
1 ∴y＝tan(－2x)的最小正周期为 2π. π π (2)y＝tan(2x＋12)＝tan(2x＋12＋π)
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
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新课引入
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自主预习 认真阅读教材P34－35回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做 正切曲线
．
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(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性
kπ π kπ 5π ∴函数的单调递增区间为 3 －18， 3 ＋18(k∈Z)， 不存在
单调递减区间．
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规律总结：求函数 y＝Atan(ωx＋φ)，A≠0，ω>0 的单调 区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把 π “ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体． ωx＋φ≠kπ＋ (k∈Z)可解得 令 2 该函数的定义域．
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判断下列函数的奇偶性： π π (1)y＝tanx(－4≤x<4)； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
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求下列函数的周期 π (1)y＝2tan(2x＋3)； 1 π (2)y＝3tan(2x－4)． [分析] 利用周期函数的定义求解，或利用 y＝Atan(ωx＋
π φ)(ω≠0)的周期为|ω|求解．
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[解析] 是 π。
[答案]
C
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f(x)＝tan2x是( A．奇函数
) B．偶函数 D．非奇非偶函数
C．奇函数又是偶函数
[答案] B
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函数y＝3tanx－1的定义域是________．
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4．求函数
π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
孔子东游，见两小儿辩日，一儿曰：“日初出沧沧凉 凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”„„事 实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大 地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里、直 射比斜射热量高．这就涉及太阳光和地面的角度问题，学习 了正切函数你就明白了．
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1.4 1.4.3
π (3)定义域为{x|x≠kπ＋ ，k∈Z}，关于原点对称， 2 ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它 是奇函数．
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命题方向 3
求定义域和单调区间
π y＝tan3x－3的定义域，并指出它的单调性．
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π π 解法 2：(1)∵T＝ ，ω＝2，∴T＝ . |ω| 2 π π ∴y＝2tan(2x＋3)的周期为2. π 1 (2)∵T＝|ω|，ω＝2，∴T＝2π. 1 π ∴y＝3tan( x－ )的周期为 2π. 2 4

y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x

R
π 奇函数
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函数 性质 单 调 性 减区间 无 y＝tanx
增区间
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
第一章
第一章
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求下列函数的最小正周期： 1 π (1)y＝tan(－2x)；(2)y＝tan(2x＋12)． [分析] 利用周期函数的定义来解，对于正切函数 y＝
tanx，若 tanx＝tan(x＋T)，则 T 为正切函数的周期．T 的最小 值为最小正周期．
3．已知函数 y＝3cos(π－x)，则当 x＝________时，函数取 得最大值．
[答案]
2kπ＋π(k∈Z)
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[解析]
∵y＝3cos(π－x)＝－3cosx，
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
第一章
1．4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第一章
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课前自主预习
第一章
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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1.4 1.4.3
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kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
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y＝tanx(
)
A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数
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1 π (2)令 z＝ x－ ，那么函数 y＝3tanz 的周期是 π. 2 4 1 π 1 π 由于 z＋π＝(2x－4)＋π＝2(x＋2π)－4，所以自变量 x 只要 并且至少要增加到 x＋2π 时，函数值才能重复取得，即 T＝2π 1 π 1 π 是能使等式 3tan[2(x＋T)－4]＝3tan(2x－4)成立的最小正数， 从 1 π 而函数 y＝3tan( x－ )的周期是 2π. 2 4
温故知新 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx )
[答案]
D
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[解析] 递减函数．
结合函数 y＝cosx 的图象可知其在[0，π]上为单调
求函数 [分析]
π 把 3x－ 看作一个整体，借助于正切函数的定义域 3
和单调区间来解决．
第一章
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[解析]
π 要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x－ 3
π kπ 5π ≠kπ＋2(k∈Z)，得 x≠ 3 ＋18(k∈Z)，
π 解法 1：令 z＝2x＋ ，那么函数 y＝2tanz 的周期 3
π π π 由于 z＋π＝(2x＋3)＋π＝2(x＋2)＋3， 所以自变量 x 只要并 π π 且至少要增加到 x＋2时，函数值才能重复取得，即 T＝2是能 π π 使等式 2tan[2(x＋T)＋3]＝2tan(2x＋3)成立的最小正数， 从而函 π π 数 y＝2tan(2x＋3)的周期是2，
π π ＝tan2x＋2＋12，
π π ∴y＝tan(2x＋12)的最小正周期为2.
第一章 1.4 1.4.3
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命题方向 2
正切函数的奇偶性
试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x. [分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．
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求函数
π x y＝3tan6－4的定义域，并指出它的单调性．
第一章
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[解析]
π (1)因为该函数的定义域是{x|x≠2＋kπ，k∈Z}，
关于原点对称，且 f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx ＋|tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数． π (2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}，关于原 2 点对称， 又 f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－ x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶 函数．
[答案]
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 2

第一章
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课堂典例讲练
第一章
1.4 1.4.3
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思路方法技巧
命题方向 1 正切函数的周期性
[解析]
π π (1)∵定义域[－ ， )不关于原点对称， 4 4
∴它既不是奇函数也不是偶函数． kπ π (2)定义域为{x|x≠ ＋ ，k∈Z}，关于原点对称， 2 4 ∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它 是偶函数．
第一章
1.4 1.4.3
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