z变换的定义与收敛域.

1) |z|3
2 3 H ( z) 1 1 2z 1 3z 1 非稳定，因果
h[k ] (2
2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果
k 1
3
k 1
)u[k ]
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
3) |z|<2 稳定，非因果
h[k ] 2
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) H ( z ) z e j
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
留数法求Z反变换
1 k 1 x[k ] X ( z ) z dz c 2j
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
Re s{ X ( z ) z k 1 } z p
l
1 例：X ( z ) (1 az1 ) 2
X ( z ) z k
k 0
N 1
1 zN 1 1 z
z 0
2)右边序列
X ( z)
k N1

k

x[k ]z
k
z R
例：x[k ] ak u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 1 az
z a
3)左边序列
X ( z)
系统函数H(z)的表示方式
a) z-1的有理函数表示
b0 b1 z bM z H ( z) 1 N a0 a1 z aN z
b) z的有理函数表示
M M 1 b z b z bM ( N M ) 0 1 H ( z) z a0 z N a1 z N 1 aN
(k 1)a k
z a
x[k ] (k 1)a k u[k 1] (k 1)a k u[k ]
1 z k 1 2) x[k ] dz 2 c 2j ( z a)
k 1
k 2
x[k ] 0
令 k 1 m, m 1,2
m 1 1 d 1 1 1 x[k ] dz m 2 (m 1)! dz m1 ( z a ) 2 2j c z ( z a)
k
k

N2
x[k ]z
k
z < R
例：x[k ] b u[k 1]
X ( z)
k

1
b z
k
k
b z
k k 1

k
1 b z
k k 0

k
1 1 1 1 1 b z 1 bz 1
z<b
4)双边序列
X ( z)
k 源自x[k ]zkROC R < z < R
例：x[k ] a k u[k ] bk u[k 1] 1 1 X ( z) 1 1 1 az 1 bz
a<z<b
部分分式法求Z反变换
1 例 :已知H ( z ) 求所有不同的收敛情况 下的h[k ] 1 1 (1 2 z )(1 3z )
求：1)ROC为|z||a|时的x[k] 2)ROC 为|z|<|a|时的x[k]
1 z k 1 1 z k 1 1) x[k ] dz dz 1 2 2 c 2j (1 az ) 2j c ( z a)
x[k]=0
k < 1 时 k 1 时
dz k 1 x[ k ] dz
第2章 Z变换
Z变换的定义与收敛域 Z反变换 系统的稳定性和H(z) 系统函数
z变换定义及收敛域
X ( z)
收敛域(ROC): R< |z|<R+
k


x[k ]z k
1)有限长序列
X ( z)
k N1

N2
x[k ]z
k
ROC
0< z <
1 0 k N 1 例：x[k ] RN [k ] 0 其它
M
Y ( z) H ( z) X ( z)
n 0

n 0 N

bn z n an z n
N=0, a00 时，系统称FIR(finite impulse response)
N>0，{ak ;k=1,2...N}中至少有一项非零时，系统被称 为IIR(infinite impulse response)系统
是h[k]实系数时，由H(ej)的对称性质可得
H (e ) H (e ) H (e )
j
2
j

j
H (e ) H (e
j
j
)
H ( z ) H ( z 1 )
z e j
差分方程和系统函数
n 0

N
an y[k n] bn x[k n]
n 0 M
z 0
(1) m! 1 (m 1)! ( z a ) 2 m 1
m 1
m a( m1) (k 1)a k
z 0
x[k ] (k 1)a k u[k 1]
系统的稳定性和H(z)
LTI系统稳定的充要条件：
k

h[k ] <
H(z)的收敛域包含单位圆
1
M
c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) kz
( N M )
( z z (1))(z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))(z p(2))( z p( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z)
k 1
b0k b1k z 1 b2k z 2 a0k a1k z 1 a2k z 2