多边形与平行四边形
中考数学复习《多边形与平行四边形》
证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）. ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. （2015广州）下列命题中，真命题的个数有 （ B ）
（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定 （1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫 做该三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且 等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于
（）
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·
（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，
5. （2016梅州）如图1-4-6-6，平行
四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°， E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF， 连接EF交BD于点O. （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求 AE的长.
多边形及平行四边形的性质
专题08 多边形及平行四边形的性质知识网络重难突破知识点一多边形的有关概念1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。
2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。
多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。
3.四边形的内角和等于360o。
n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。
任何多边形的外角和为360o。
【典例1】（2020春•鹿城区校级期中）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．6B．7C．8D．9【变式训练】1．（2019秋•温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条B．8条C．9条D．12条2．（2020•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14B．15C．16D．173．（2019春•西湖区校级月考）若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．知识点二平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。
4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。
【典例2】（2020春•丽水期中）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．【变式训练】1．（2019春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝14，AC＝6，则△OBC的周长为．2．（2019春•天台县期末）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE 与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝°．3．（2019春•温州期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为．4．（2018秋•吴兴区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）连接BF，若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝3，求BF的长．5．（2019•黄石模拟）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．知识点三中心对称1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
中考复习第24课时多边形与平行四边形课件
称图形，边数为偶数的正多边形也是 中心对称 图形. 3． 平面图形的密铺： (1)密铺的条件：围绕一个点拼在一起的所有角度之和为 360° . (2)常见的密铺图形：等边三角形，正方形，正六边形.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
考点2 平行四边形的性质
1．已知平行四边形 ABCD 中，∠B＝4∠A，则∠C＝( B ) A.18° A.4 B.36° B.12 C.72° C.24 D.144° D.28 2．已知▱ABCD 的周长为 32，AB＝4，则 BC＝( B ) 3．在平行四边形 ABCD 中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线 AC， BD 相交于点 O，则 OA 的取值范围是( C ) A.3 cm＜OA＜5 cm C.1 cm＜OA＜4 cm
中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并 且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任 意锐角或钝角.请问结论DE＝BD＋CE是否成 立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说 明理由.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A， E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互 不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且 △ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD， CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断 △DEF的形状.
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第24课时┃ 多边形与平行四边形
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► 热考 平行四边形的判定与性质
例 [2013· 东营] (1)如图24－1①，已知： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足 分别为点D、E.证明：DE＝BD＋CE. (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC
平行四边形和多边形知识点
平行四边形和多边形知识点一、平行四边形知识点。
1. 平行四边形的定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 平行四边形的性质。
- 边的性质。
- 平行四边形的对边平行且相等。
即AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。
- 角的性质。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
- 对角线的性质。
- 平行四边形的对角线互相平分。
即AO = CO，BO = DO（设AC、BD相交于点O）。
3. 平行四边形的判定。
- 边的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 平行四边形的面积。
- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底，h为这条底边上的高）。
二、多边形知识点。
1. 多边形的定义。
- 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
- 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。
2. 多边形的内角和。
- n边形的内角和公式为(n - 2)×180^∘（n≥3且n为整数）。
- 例如三角形（n = 3）内角和为(3 - 2)×180^∘=180^∘；四边形（n = 4）内角和为(4 - 2)×180^∘=360^∘。
3. 多边形的外角和。
- 多边形的外角和等于360°，与边数无关。
4. 正多边形。
- 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
- 正n边形的每个内角为frac{(n - 2)×180^∘}{n}，每个外角为frac{360^∘}{n}。
第18讲 多边形和平行四边形
第十八讲多边形和平行四边形考点综述：本部分内容是中考热点和重点之一。
它包括：多边形的内角和与外角和的相关知识，平行四边形的性质和判定，以及会利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计。
解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和运用。
考点精析考点1 图形的旋转（1）旋转的概念：平面内将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心；旋转的角度叫做旋转角。
注意：①旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状；②旋转中心只有一个，它可以在图形的内部，也可以在图形的外部，转动的方向有两个，可以顺时针方向，也可以逆时针方向。
③在一个旋转中，图形的每一点（除旋转中心）均沿着相同的方向转动相同的角度。
④在任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
（2）旋转的基本性质①旋转前后的图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
考点2 中心对称（1）中心对称①概念：两个平面图形，把一个图形绕着某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称。
这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
②性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（2）中心呢对称图形概念：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
考点3 平行四边形（1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）平行四边形的性质①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分。
（3）平行四边形的判定①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
1多边形与平行四边形)
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
13．(2010· 桂林)正五边形的内角和等于________度．
14． 苏州)如图， (2010· 在平行四边形 ABCD 中， 是 AD 边上的中点， E 若∠ABE＝∠EBC， AB＝2，则平行四边形 ABCD 的周长是________．
15．(2010· 潍坊)如图，在△ABC 中，AB＝BC，AB＝12 cm，F 是 AB 边上一点，过点 F 作FE∥BC交 AC于点E， 过点E作ED∥AB交 BC于点D， 则四边形BDEF的周长是________．
把ABE逆时针旋转90
5．若一个正多边形的每一个外角都是 30°，则这个正多边形的内角和等于 1800°度．
6．如图，在▱ABCD 中，已知点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上且 AE＝CF. (1)求证：DE＝BF； (2)连结 DEBF 是平行四边形 ，得 明四边形 BD，并写出图中所有的全等三角形．(不要求证明) DE ＝ BF
B
)
12.(2011 中考预测题)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是对角线 AC 上的两不同点，当 E、F 两点满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边 ．．． 形．( B ) A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
3．(2009中考变式题)若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的 3倍，则这个多边形的 边数为( D ) A．6 B．7 C．8 D．9
4．(2010· 湖州)如图，则▱ABCD 的周长等于 ( A) A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
三、解答题(共 44 分)
18．(10 分)(2010· 衢州)已知：如图，E、F 分别是▱ABCD 的边 AD、BC 的中点． 求证：AF＝CE.
四边形
n边形的对角线：共有n（n－3）/2条。 边形的对角线：共有n /2条。 说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计 说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计 算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形 的对角线的条数求出它的边数。 多边形内角和定理： 边形内角和等于（n 多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2） 180° 180°。 多边形内角和定理的推论： 多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于 360° 360°。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无 关），利用它解决有关计算题比利用多边形内 角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个 公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。
2、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 ①正方形的四个角都是直角； ②四条边都相等； ③正方形的对角线相等且互相垂直平分； ④每一条对角线平分一组对角； ⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是 对角线所在直线和对边中点所在直线，同时又是 中心对称图形，对称中心是对角线交点
1、菱形的定理
性质定理1 性质定理1 菱形的四条边都相等 性质定理2 性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角 面积=对角线乘积的一半，即S=（ 面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b） ÷2 判定定理1 判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 判定定理2 判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内 角同时运动时，又能使平行四边形的一个 内角为直角且邻边相等，这样就形成了正 方形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形。
1、正方形的定理
正方形性质定理1 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角， 四条边都相等。 正方形性质定理2 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等， 并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形判定定理1 正方形判定定理1：两条对角线互相垂直的矩形 是正方形。 正方形判定定理2 正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正 方形。
多边形与平行四边形知识点
多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．3）正n边形有n条对称轴.4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义：.2．平行四边形的性质1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. 4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、三角形的中位线1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。
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第26课时┃ 多边形与平行四边形
方法模型 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会 它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选 择方法．一般来说，当已知条件出现在四边形的一组对边 上时，可以采用一组对边平行且相等或两组对边分别相等 的方法去解决；当已知条件出现在四边形的对角线上时， 往往采用对角线互相平分的方法解决．
第26课时 多边形与平 行四边形
第26课时┃ 多边形与平行四边形
考点●1 多边形
多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封 闭图形叫做多边形
内角和
n(n>3)边形的内角和为_(_n_－__2_)_·_1_8_0_°_
外角和
任意多边形的外角和为360°
多边形的性 多边形的
质
对角线
n边形共有_n_（__n_2－__3__）_条对角线
第26课时┃ 多边形与平行四边形
(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于 点H.
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠EBD＝30°， ∴DG＝12BD＝12×12＝6. ∵BE＝DE， ∴BH＝DH＝12BD＝6， ∴BE＝cosB3H0°＝4 3，
∴DE＝BE＝4 3，
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC. ∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFD. 在△ABE和△CDF中，∠∠AAEBBD＝＝∠∠CBFDDC，，
AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE＝DF. (2)由(1)得AE＝CF. ∵∠1＝∠2，∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.
∴四边形ADEF的面积为DE·DG＝24 3.
第26课时┃ 多边形与平行四边形
热考3 平行四边形性质与判定的综合应用
例4 如图26－4，四边形ABCD是平行四边形，E，F是 对角线BD上的点，∠1＝∠2.
(1)求证：BE＝DF； (2)求证：AF∥CE.
图26－4
第26课时┃ 多边形与平行四边形
定 义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
(1)平行四边形的对边_平__行__且__相__等___；
性 质
(2)平行四边形的对角__相__等____； (3)平行四边形的对角线互相___平__分___ ； (4)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角
线的交点
总 结
若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线被一 组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线
(1)求证：BE＝AF； (2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求 DE 的长及四边形 ADEF 的
面积．
图 26－3
第26课时┃ 多边形与平行四边形
解：(1)证明：∵DE∥AB，EF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE， ∴AF＝DE. ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴BE＝AF.
线间的距离处处相等
第26课时┃ 多边形与平行四边形
热考精讲
热考1 多边形的内角和与外角和 例 1 若一个正多边形的每一个外角都C是 40°，则这 个多边形的边数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10
例 2 如图 26－1，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一 部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角
第26课时┃ 多边形与平行四边形
如图 26－2，边长相等的正方形、正六边形的一边重
合，则∠1 的度数为( C )
A．20° B．25° C．30° D．35°
图 26－2
2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个
多边形的边数是( D ) A．5 B．6 C．7 D．8
第26课时┃ 多边形与平行四边形
和为 540°，则对应的是下列哪个图形( C )
图 26－1
第26课时┃ 多边形与平行四边形
方法模型 如果已知多边形的内角和，那么可以直接用n边形的内 角和公式(n－2)·180°求出它的边数n. 对于多边形的外角 和，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关，都为 360°；(2)将多边形的内角和问题转化为外角和问题常常有 化难为易的效果．
思想方法 方程思想——多边形中的方程 根据多边形的内角和公式(n－2)·180°、外角和为360 °、内角与外角的关系列方程，是解决多边形的边数问题的 常用方法．
第26课时┃ 多边形与平行四边形
热考2 四边形的计算
例 3 如图 26－3，BD 是△ABC 的角平分线，点 E，F 分别 在 BC，AB 上，且 DE∥AB，EF∥AC.
第26课时┃ 多边形与平行四边形
考点●4 平行四边形的面积
平行四边 平行四边形的面积＝底×
形面积
高
拓展
同底(等底)等高(同高)的平 行四边形的面积相等
两条平行线中，一条直线
两条平行线 上任意一点到另一条直线
间的距离 的距离叫做这两条平行线
间的距离
推论
(1)夹在两条平行线间的平 行线段_相__等___；(2)平行直
等分平行四边形的面积
第26课时┃ 多边形与平行四边形
考点●3 平行四边形的判定
序 号
方法
1
定义法
2
两组对角分别__相__等____的四边形是 平行四边形
两组对边分别__相__等____的四边形是
3
平行四边形
一组对边平行且__相__等____的四边形
4
是平行四边形
5
对角线__互__相__平__分____的四边形是平 行四边形
正多边形
不稳定性
n(n>3)边形具有不稳定性
拓展
n边形的内角中最多有____3____个锐角
定义
各个角____相__等____，各条边____相__等____的多边
形叫做正多边形
对称性
正多边形都是____轴____对称图形，边数为偶数
的正多边形还是中心对称图形
第26课时┃ 多边形与平行四边形
考点●2 平行四边形的定义与性质
第26课时┃ 多边形与平行四边形
已知：如图 26－5，在四边形 ABCD 中，AB∥ CD，E，F 为对角线 AC 上两点，且 AE＝CF，DF∥BE.求证： 四边形 ABCD 为平行四边形．
图 26－5
第26课时┃ 多边形与平行四边形
证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠CFD. 在△AEB和△CFD中，∠ AEA＝EBC＝ F，∠CFD，