第6章 函数误差与误差合成

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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
相关系数的确定－直接判断法
可判断ij 的0 情形
▪断定 x与i x两j 分量之间没有相互依赖关系的影 响
▪当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然
▪ x与i x属j 于完全不相干的两类体系分量，如 人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的
l2 D h
4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
1300mm
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
▪ xi 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi
起到误差单位换算的作用
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
误差分量
▪ x与i x虽j 相互有影响，但其影响甚微，视为可
忽略不计的弱相关
6-21
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
相关系数的确定－直接判断法
可判断ij 或1 ij的 情1 形
▪断定 x与i x两j 分量间近似呈现正的线性关系或 负的线性关系 ▪当一个分量依次增大时，引起另一个分量依 次增大或减小，反之亦然 ▪ x与i x属j 于同一体系的分量，如用1m基准尺 测2m尺，则各米分量间完全正相关
n
2
1i
j
f xi
f x j
Dij
或 y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
L
பைடு நூலகம்
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
▪ x第i i个直接测得量 的xi标准差
▪ ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
第6章 函数误差与误差合成
作者：刘兆平 部门：机电设备系
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
输入量 x2 直方图
90 80 70 60 50 40 30 20 10
均值 =0.0
s=0.029
输入量 x5 直方图
400 300 200 100
均值= _ 0.11
s=0.42
输入量 x3 直方图
200 100
均值=0.00022 s=0.0000097
输入量 x1 直方图
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1.2 106 o C-1
x4
试验座温度偏离标准温度
0.1oC 反正弦 0.41oC
x5
两块规的热膨胀系数
0
均匀 0.58106 oC-1
x6
两块规间温度差
0
均匀 0.029oC
6-28 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
六个输入量分布
输入量 x6 直方图
输入量 x4 直方图
分布密度函数
计算机数值仿真计算
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
计算机随机模拟法的步骤
①输入各输入量 x1, x2,L , 及xn 其算术平均值 x1, x2和,L 标, xn 准
偏差
1, 2,L , n
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图
f
(
x1,
x2
,...,
xn
)
f x1
x1
f x2
x2 L
f
xn
xn
得到
y f
x1
x1
f x2
x2 L
f
xn
xn
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
1、 函数标准差计算
y2
2
2
f x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f xn
2
2 xn
▪
f
x第i i个直接测得量
对x间i 接量 在该y 测量点
(x1, x2 ,K , xn )
处的误差传播系数
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
2
y2
f x1
2 x1
二、函数随机误差计算
6-12 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
数学模型
函数的一般形式
y f (x1, x2,..., xn ) 变量中有随机误差，即
y y f (x1 x1, x2 x2 ,L , xn xn )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
y
y
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误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
相关系数的统计计算公式
根据(xi , x的j )多组测量的对应值 xik，, x按jk 如下统计
公式计算相关系数
(xi , x j )
(xik xi )(x jk x j ) k
(xik xi )2 (x jk x j )2
y
a12
2 x1
a22
2 x2
L
an2
2 xn
▪ x第i i个直接测得量 的xi极限误差
6-16 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sin f (x1, x2,..., xn )
函数随机误差公式为
1
cos
f x1
2
2 x1
▪当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
2、三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
cos f x1, x2,..., xn
1
sin
n i 1
f xi
xi
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6-9 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
6-2 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
教学重点和难点
❖ 函数系统误差 ❖ 函数随机误差 ❖ 函数误差分布的模拟计算 ❖ 随机误差的合成 ❖ 未定系统误差和随机误差的合成 ❖ 误差分配 ❖ 微小误差取舍准则 ❖ 最佳测量方案的确定
6-3 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
f x2
2 x2
L
f xn
2 xn
或
y
2
2
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f xn
2
2 xn
令
f xi ai
y
a12
2 x1
a22
2 x2
L
an
2
2 xn
6-15 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
f x2
2
2 x2
L
2
f xn
2 xn
6-17 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
【例6-2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量
得弓高h 50mm，弦长 l 500mm ，工厂检验部门又用高准确度
等级的卡尺量得弓高 h 50.1mm ，弦长l 499mm 。已知车间工
【例6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 得弓高h 50mm，弦长 l 500mm，工 厂检验部门又用高准确度等级的卡 尺量得弓高 h 50.1，mm弦长 l试 4问99mm 车间工人测量该工件直径的系统误 差，并求修正后的测量结果。
h
l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
一、函数系统误差计算
6-6 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y f (x1, x2,..., xn )
▪ x1, x2,K与,被xn 测量有函数关系的各个直接测量值 及其其他非测量值，又称输入量 ▪间接测量值，又称输出量
6-7 主菜单 结束
③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图；
④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及
误差分布区间半宽度。
6-25 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
计算机模拟测量系统
x
y
y0
y=F(x)
( y)
x
x
y= F( x )
s
y s( y )
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
输入量的误差性质
输入量
名称
数值 分布 标准差
x1 受校块规长度值在20ºC时的校准长 50.000623mm 正态 x1 25nm x2 度 两块规长度差值在20ºC时的长度 215nm 正态 x2 9.7nm
x3
标准块规的热膨胀系数
均匀 11.5106 oC-1
误差传播系数为
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5
l 2h 250
直径的系统误差 D f l f h 7.4mm
l h
故修正后的测量结果
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
6-11 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
▪ 反ij 映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数
总误差的影响
当相关系数 ij 0
y
a12
2 x1
a22
2 x2
L
an
2
2 xn
当相关系数 ij 1
y a1 x1 a2 x2 L an xn
▪函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性
的传播关系
第一节 函数误差
6-4 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
6-5 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
【解】
y2 (25nm)2 (9.7nm)2 (50mm)2 (0.1)2 (0.58106 )2
(50mm)（2 11.5106）2 (0.029)2 (25nm)2 (9.7nm)2 (2.9nm)2 (16.6nm)2 1002nm
故有
y 32nm
6-27 主菜单 结束
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函数系统误差公式
函数系统误差y 的计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1, 2为,L各, n个) 输入量在该测量点 处的(x1误, x2差,K传, x播n ) 系数
▪ xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用
k
k
▪ x、i x分j 别为 、xik 的x jk算术平均值
6-23 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
3、 函数误差分布的模拟计算
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y f (x1, x2,..., xn )
p( y)
p1(x) p2 (x) pn (x)
解析方法 难以求得
6-26 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
【例6-3】
用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通 过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下 公式 y f (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 ) x1 x2 x1(x4x5 x3x6 )
假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算 的方法分析该校准的误差分布及其标准差。
人测量该工件弓高的标准差 h 0.005mm ，弦长的标准 l 0.01mm
差
，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测
【量结解果】。
D2
( f l
)2 l 2
(
f h
)
2
h
2
52 0.012 242 0.0052 169 104 mm
有
D 0.13mm
故修正后的测量结果
D D0 D 1292.6mm
D 0.13mm
主菜单
6-18 结束
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2、 相关系数估计
6-19 主菜单 结束
误差理论与数据处理 第六章函数误差与误差合成
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
y2
2
2
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f xn
2
2 xn
n