第八章相量法

2 I e jwt 2 Ie j e jwt 2 Ie j (wt ) 是 模 为 2 I , 初 始 角 度 为 的 旋 转 相 量 , 其 旋 转 一 周 在 实 轴 上投 的影 即 为 正 弦 电 流 i 2 I cos( wt )。

+1
i
w
+j
2I
φ O O t
例8- u1 ( t ) 6 2cos(314t 30 ) V
u2 ( t ) 4 2cos(314t 60o ) V
6 30 o V U 1 4 60 o V U 2
U U 630 460 5.19 j 3 2 j 3.46 U 1 2 o 同频率 7.19 j 6.46 9.6441.9 V
F (t ) F e j ( ωt )
无物理 意义
F (t ) F e
j ( ωt )
F cos( wt ) j F sin( wt )
正弦量，具 有物理意义
若对F(t)取实部：
Re[F (t )] F cos(ωt )
结论： 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一与其对应 的复指数函数。
i(t)
R I
W1 i 2 ( t ) Rdt
0
T
W2=I 2RT
I RT i 2 ( t ) Rdt
2 0
T
R
1 I T

T
0
i 2 ( t )dt
同样，可定义电压有效值：
1 U T
def

T
0
u 2 ( t )dt
2. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
电流有效值定义为：
1 T 2 I i (t )dt 0 T 瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
def
有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。) 物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，若等于一直流电流I 流过R , 在同样时间 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有 效值。

二、 相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)
U

I i(t ) 2Icos(ω t ) I
I


Uθ u(t ) 2Ucos( wt θ) U

三、正弦量的几何意义
e jwt 2I e j (wt ) 2I
ejw t 为模为1、幅角为w t 的相量。随t的增加，模不变， 而幅角与t成正比，当t从 0~T 时， w t 从0~2，相量旋转一周 回到初始位置，因此ejw t可看作旋转相量。
wk.baidu.com加减法可用图解法。
2. 乘除运算——极坐标
若
F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
则: F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j (1 2 ) F1 F2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1θ2 ) | F1 | e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | | F2 |
额定值、电网的电压等级等。 绝缘水平、耐压值指的是最大值，因此，在考虑电器设
备的耐压水平时应按最大值考虑。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 电压、电流的瞬时值、最大值、有效值对应的符号：
i , Im , I
8. 3 正弦量的相量表示
两个正弦量
角频率：
有效值： 初相位：
i1 2 I1 cos(wt 1 ) i2 2 I 2 cos(wt 2 ) u, i i1 3+i2 i3 i2 i1 i
i =/2
=-/2 一般规定初相位取主值范围，即
O =0 注意： =
t
| |
对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对于一个 电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计 时起点来确定每个正弦量的初相。
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference) 设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i) 则 相位差 即相位角之差： = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i 同频率正弦量的 相位差等于初相位之 差， | | (180°)
w
1
I1
i2
w
w
I2
I3
1 O
2
wt 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，只需确定
初相位和有效值(或最大值) 。 由于复数向量包含模和幅角，因此，可以把正弦量与 复数对应起来（不是等同），以复数计算来简化代替正弦 量的计算。
一、正弦量的相量表示 构造一个复函数
1 I T
def

T
0
i 2 (t )dt
1 I T

T
0
2 Im cos2 ( wt ) dt

T
0
cos ( wt ) dt
2
T
0
1 cos 2(wt ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
θ1 θ2
例1. 547 10 25 ? 解: 547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226)
除法：模相除，角相减。
12.47 j 0.569 12.48 2.61
旋转因子： 复数 ej =cos +jsin =1∠ F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，模不变，故 ej 称为旋转因子。 几种不同 值时的旋转因子：
第八章
重点：
相量法
正弦量的三要素、相位差 正弦量的相量表示 电路定律的相量表示形式 相量图
8. 1 复数
代数形式 三角形式 指数形式 极坐标形式 二、复数的运算 加减运算 乘除运算 旋转因子
8. 1
一、复数的四种表示形式 1.代数形式 Im b O a F=a+jb
复数
j 1
u( t ) 2U cos( wt ) U U
例8- i 141.4 cos(314t 30o )A 试用相量表示i, u . 解：

u 311.1cos(3 14t 60o )V
I 10030o A U 220 60o V


例8- 已 知I 5015 A, f 50Hz. 试写出电流的瞬时值表达式。 解： i 50 2cos(314t 15 ) A


ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
8. 2 正弦量
一、 正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。 i 瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+ ) _ + u i T 波形： Im O wt

二、正弦量的三要素 (1) 振幅(amplitude) (最大值)Im
>0，u 超前 i ，或 i滞后 u (u 先到达最大值)；
u
u, i
i
u i
u <0 i <0 wt
O

<0， i 超前 u，或u 滞后 i (i 先到达最大值)。
u, i
特殊相位关系：
=0， 同相。
注意： 两个正弦量进行相位比较时 应满足同频率、同函数、同符号， 且在主值范围比较。
Im 直角坐标表示 b 极坐标表示
a | F | cos b | F | sin
F
|F|
O

a
Re
或
二、 复数运算 1. 加减运算——直角坐标 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2 F1
O
Re F1-F2
单位：Hz，赫(兹)
w T 2
w 2 f 2 T 单位： rad/s，弧度 / 秒
i O
T
i(t)=Imcos(w t+ )

wt
(3) 初相位(initial phase angle) 当t=0时，相位角(wt+ )= ，称 为初相位角，简 称初相位。 如果离计时起点最近的正向最大值出现在计时起点 之前，则初相位为正，反之为负。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。初相 位反映了正弦量的计时起点。
振幅反映正弦量变化幅度的大小。
i O φ
T
i(t)=Imcos(w t+ )
wt
d (wt i ) w dt
(2) 角频率(angular frequency)w w t+ ：正弦量的相位或相角，其大小决定该时刻正弦量 的值。 w ：正弦量的相位随时间变化的角速度，反映正弦量 变化的快慢。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：s，秒
四、相量运算
1. 同频率正弦量相加减
u1 ( t ) 2 U1 cos( wt 1) Re ( 2 U 1 e jwt ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( wt 2 ) Re ( 2 U 2 e jwt ) u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re ( 2 U 1 e Re ( 2 U 1 e
正弦电流有效值与最大值的关系：
Im 2I
i(t ) Im cos( wt ) 2I cos( wt )
正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V。
注意：
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌
i 2 Icos(wt ) Re[ F (t )] Re 2 Ie j (wt ) 其中 F 2I


F(t)还可以表示成：
jwt jwt 2 I e 2 I e F (t ) 2Ie e
j
jwt

复常数 F(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了两要素I , 。
Im b O
F
F
|F|

Re
a
Re
F a jb F | F |
| F | e j | F | (cos j sin ) a jb F | F | e j | F |
两种表示法的关系： F=a+jb F=|F|ej =|F|
| F | a 2 b 2 b θ arctg a
相量关系为：


jwt
) Re ( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U2 e

jwt
) Re ( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U U U 1 2
U
结论： 同频率正弦量的加减运算可转变为对应相量的加减运算。 i1 i2 = i3
I I I 1 2 3
u i
O u, i
wt
u
O iw t
= (180o ) ，反相。
u, i u i O
= /2：
u 超前 i /2,
wt
i 滞后 u /2，正交。
四、周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小 工程上采用有效值来表示。
1. 周期电流、电压有效值(effective value)
i ( t ) 2 I cos( wt ) I I
I I


为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
正弦量的相量表示:
其中小圆点既用以和普通复数区分(强调它与正弦量的 联系 ) ，同时也改称“相量”，而不用“向量”，即表明 不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。 正弦电压与对应相量的关系：
jI
Im
I
0
Re
jI
I
2 j , e 2 2


, e
j

2
cos
, e j cos( ) j sin( ) 1
j sin j 2 2 cos( ) j sin( )j 2 2