第8章 相量法

第八章相量法

重点：1. 正弦量和相量之间的关系；

2. 正弦量的相量差和有效值的概念；

3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式

4. 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。

难点：

1. 正弦量与相量之间的联系和区别；

2. 元件电压相量和电流相量的关系。

本章与其它章节的联系：

本章是学习第9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。

预习知识：

1.三角函数；

2.复数运算。

§8.1 复数

相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。

1. 复数的四种表示形式

代数形式A = a +j b

复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。

图 8.1 为复数在复平面的表示。

根据图 8.1 得复数的三角形式：

两种表示法的关系：

或

图 8.1

根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：

指数形式有时改写为极坐标形式：

注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。

2. 复数的运算

(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。

若

则

即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相

加减。

复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量

的相加和相减求得，如图8.2所示。

(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。

若

图 8.2 则

即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。

图 8.3 图 8.4

(3) 旋转因子：

由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数

，相当于 A 逆时针或顺时针旋转一个

角度θ，而模不变，如图8.4 所示。故把称为旋转因子。

当

当

故+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。

3. 复数运算定理

定理1

式中K 为实常数。

定理2

定理3 若

则

例8—1，计算复数

解：

本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。

例 8—2，计算复数

解：

本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。

§8.2 正弦量

1.正弦量

电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）：

波形如图 8.5 所示。

图 8.5

注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义：

（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于：

1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。

（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。 2. 正弦量的三要素

（1）I m —幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。

（2）ω—角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率的关系为：

rad/s

（3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 需要注意的是：

1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6 给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。 2）一般规定初相位取主值范围，即 |y |≤π 。 3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。

4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。

图 8.6

图 8.7

3. 相位差

相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 设

则相位差为：

上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π如果上式中φ＞0 ，称 u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；

如图 8.8（a）所示。

如φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。

如φ=±p ，称i 与u 反相，如图 8.8（b）所示；

如φ=0 ，称i 与u 同相，如图 8.8（c）所示。

图 8.8 （a）（b）（c）

需要注意的是：

两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。

4. 正弦电流、电压的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流I 和交流电流i 在相同时间T 内流经同一电阻R 产生的热效应，即令：

从中获得周期电流和与之相等的直流电流I 之间的关系：

这个直流量I 称为周期量的有效值。有效值也称方均根值。

图 8.9

同样，可定义电压有效值：

设正弦电流

相应的有效值为：

因为

所以

即正弦电流的有效值与最大值满足关系：

同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：

若一交流电压有效值为U = 220V ，则其最大值为U m≈311V ；

需要注意的是：

（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。

（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。

（3）区分电压、电流的瞬时值i、u ，最大值I M m、U m和有效值I、U 的符号。

例 8—3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，

（1）写出正弦i(t) 表达式；

（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1