第8章 相量法
第八章相量法
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第八章 相量法
+i _
5 0.2F
515 I
1 jX C j 6 j 5 6 10 0.2 10
A(t)包含了三要素：I、 、ω ，复常数只包含了I , 。称为从时域到频域的数学变换式。
正弦量的微分，积分运算
I i 2 I cos( t i ) I i
微分运算 积分运算
di d 2 I cos(t i ) dt dt di 2 I sin( t i ) dt 2 I cos( t i )
瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消
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3. 电容元件VCR的相量形式
时域形式： i C( t )
+ u(t) -
I C
已知 u(t ) 2U cos( t u ) du( t ) 则 iC ( t ) C 2CU sin( t u ) dt π C 2CU cos( t u ) 2 U 相量形式： U
I dt
I j
相量积分
正弦电量（时 间函数）
变换
相量 （复数）
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量
反变换
相量结果
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u落后i 90°
0
I 2 XC
例
i(t)
R L
i (t ) 2 I cos( t i )
+ u(t)
di 1 u ( t ) Ri L idt 解 C dt C I RI jLI 用相量运算： U jC
第08章 相量法
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章 相量法
Um U= = 0.707U m 2
1 T u2dt （8-14） T 0
或者： Um = 2U
#
（8-15）
u = 2U cos(t + u )
§8.2 正弦量 相位差：两正弦量间的相位之差称为相位差。 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路 中的响应一定是同一频率的正弦量 。因此，在正弦交流电路中， u,i 常常遇到同频率的正弦量，设 任意两个同频率的正弦量 Im u =Umcos(ωt+φu ) Um i = Imcos(ωt+φi ) 从波形图中可看出u和i的频 率相同，而振幅、初相不同。
T
V
R
i 在一T内所产生的热量为： Q~= i2Rdt (J)
0
-
I 在一T内所产生的热量为： Q-= I2RT (J)
T
按定义两者的Q应相等，即
0
i2Rdt= I2RT
+ uS -
i
R
由此得有效值定义式：
I=
1 T i2dt T 0
（8-12）
§8.2 正弦量 将有效值定义用于正弦电流。 设：i =Imcos(ωt+φi )， 由（8-12）式得：
§8.3 相量法基础 Im= Ime jφi = Im φi 有效值相量为： I= Ie jφi = I φi （8-18）
（e jφi为旋转因子） （8-19）
任何一个正弦量通过上述变换都可以对应得到（8-19）式。 有效值相量与最大值相量的关系为：I = 2I m 例如： 已知正弦电压 u = 220 2 cos( 314t + 450 )V 所对应的有效值相量为： U= 220 450
．
．
第八章相量法
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第8章 相量法
j ＝ 0， 同相
u i o o
u i wt
wt
u
j= /2：u 领先 i /2
i o
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
解
计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 (t ) 10 cos( π t 3π 4) 100 i2 (t ) 10 cos( π t π 2) 100
j π 2
F
0
Re
jF
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
F
π , e
j π
cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
③旋转因子 复数
ej =cos +jsin =1∠
Im F• ej
F• ej
旋转因子 0
F Re
特殊旋转因子
jF
Im
π , 2 π π e cos jsin j 2 2
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um311V Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
o
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
第8章 相量法
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
1.复数的表示形式 (1)代数形式 b 0
+j
F
r
θ
a +1
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
F r
a b
u(t ) 2U cos( t u )
X Y 53.1
xy 3 X Y
4
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘（除）:使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二．正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
第八章 相量法
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
第八章 相量法
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
第8章 相量法
第八章相量法一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
四、学时安排总学时：4五、教学内容§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。
第08章相量法
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第八章 相量法
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
第八章电相量法
第八章相量法一、教学重点与难点1. 教学重点：(1).正弦量和相量之间的关系；(2).正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4).电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：(1).正弦量与相量之间的联系和区别；(2).元件电压相量和电流相量的关系。
二、本章与其它章节的联系：本章是学习第9-11 章的基础，必须熟练掌握相量法。
三、教学内容§8.1 复数一、复数的形式1、代数形式F = a + jb为虚数单位复数F 的实部Re[F ] = a复数F 的虚部Im[F ] = b复数F 在复平面上可以用一条从原点O 指向F 对应坐标点的有向线段表示。
2、三角形式二、复数的运算1、加法用代数形式进行，设三、旋转因子例如：一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转π/2，一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，等于把它顺时针旋转π/2 。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10135∠︒，求: F1+ F2 和F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：F2 = 10135∠︒=10（cos135°+jsin135°)= -7.07 + j7.07F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )= - 4.07 + j3.07= 5.1143∠︒§8.2 正弦量一、正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。
对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。
用相量法分析时，不要两者同时混用。
本书采用cosine。
二、正弦量的三要素1、振幅Im正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
2、角频率ω反映正弦量变化的快慢，单位rad/s，ωT=2π，ω=2πf，f=1/T，频率f 的单位为赫兹（Hz），周期T的单位为秒（s）f =50Hz，T = 0.02s，ω=314 rad/s三、正弦量的有效值四、同频率正弦量相位的比较§8.3 相量法的基础一、正弦稳态电路在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频正弦量。
第8章 相量法
i 2 I cos(w t +y i )
（1）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数 一 般为有效值。
14
（2）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，
如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，
在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效 值的符号。
A3 3 + j 4 A3 3 j 4
3. 复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的运算
5e
j 126.9
5e
j 126.9
(1) 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
18
(2) 乘除运算——采用极坐标、指数形式； 若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 则: A1 A2 A1 e
最大值（振幅） 相位 wt + y i 初相位 yi Im
yi< 0 i(t) I m cos(w t + y i )
三. 正弦量的三要素
1. 幅值（振幅、 最大值）Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2. 角频率ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2f
2 T
单位：rad/s，弧度 / 秒
1
+1
（由欧拉公式e
模 a a1 + a2
2
2
实部 a1 a cos
a2 1 虚部 幅角 tan tan a1 实部 17 虚部 a2 a sin
例：将以下代数形式化为指数形式
A1 3 + j 4
第8章 相量法
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
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第八章相量法重点：1. 正弦量和相量之间的关系；2. 正弦量的相量差和有效值的概念；3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式4. 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
本章与其它章节的联系：本章是学习第9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
预习知识：1.三角函数；2.复数运算。
§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或图 8.1根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若图 8.2 则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数，相当于 A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图8.4 所示。
故把称为旋转因子。
当当故+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 复数运算定理定理1式中K 为实常数。
定理2定理3 若则例8—1，计算复数解：本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例 8—2，计算复数解：本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
§8.2 正弦量1.正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）：波形如图 8.5 所示。
图 8.5注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义：（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
由于：1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素（1）I m —幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω—角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
它与周期和频率的关系为：rad/s（3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
需要注意的是：1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6 给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。
2）一般规定初相位取主值范围，即 |y |≤π 。
3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。
4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。
图 8.6图 8.73. 相位差相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设则相位差为：上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π如果上式中φ＞0 ，称 u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；如图 8.8（a）所示。
如φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。
如φ=±p ，称i 与u 反相，如图 8.8（b）所示；如φ=0 ，称i 与u 同相，如图 8.8（c）所示。
图 8.8 （a）（b）（c）需要注意的是：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4. 正弦电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流I 和交流电流i 在相同时间T 内流经同一电阻R 产生的热效应，即令：从中获得周期电流和与之相等的直流电流I 之间的关系：这个直流量I 称为周期量的有效值。
有效值也称方均根值。
图 8.9同样，可定义电压有效值：设正弦电流相应的有效值为：因为所以即正弦电流的有效值与最大值满足关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U = 220V ，则其最大值为U m≈311V ；需要注意的是：（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值i、u ，最大值I M m、U m和有效值I、U 的符号。
例 8—3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，（1）写出正弦i(t) 表达式；（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1例 8 — 3 图解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：解得由于最大值发生在计时起点右侧故取所以当时电流取得最大值，即：例 8—4，计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）转为主值范围：说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：则说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）则说明i1超前i2本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
§8.3 相量法的基础正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。
1. 正弦量的相量表示构造一个复函数对A(t) 取实部得正弦电流：上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即：A(t) 还可以写成称复常数为正弦量i(t)对应的相量，它包含了i(t)的两个要素I ,Y 。
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即：注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：例如若已知正弦电流和电压分别为：则对应的相量分别为：若正弦电流的相量频率则对应的正弦电流为：2. 相量图在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。
如已知相量则对应的相量图如图 8.10 所示。
辐角为零的相量称为参考相量。
图 8.103.相量法的应用(1) 同频率正弦量的加减则：图 8.11从上式得其相量关系为：故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算，运算过程如图 8.11 所示。
（2）正弦量的微分、积分运算设则即对应的相量为而即对应的相量为以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i的相量乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量除以。
例如图8.12所示 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为因此引入相量的优点是：图 8.12（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；需要注意的是：1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析；2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
3）相量法用来分析正弦稳态电路。
例 8—5，计算两正弦电压之和，已知：解：两正弦电压对应的相量为 :相量之和为：所以本题也可借助相量图计算，如下图所示。
例 8 — 5 相量图例 8—6，试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。
解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：（3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：（4）对（5）错 ，感抗和容抗混淆，正确写法为：（6）错 ，有效值和相量混淆，正确写法为：（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或§8.4 电路定律的相量形式1. 电阻元件 VCR 的相量形式 设图8.13(a)中流过电阻的电流为则电阻电压为：其相量形式：以上式子说明：图8.13（a ）（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13(b)为电阻的相量模型图。
（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：U R = RI （3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14(a)和(b)所示。
图 8.13（ b ）图 8.14（a）图 8.14（b）电阻的瞬时功率为：即瞬时功率以2ω交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。
2. 电感元件 VCR 的相量形式图 8.15 （a）图 8.15（b）设图8.15（a）中流过电感的电流为则对应的相量形式分别为：以上式子说明：（1）电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中X L=ωL=2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。
（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。
（3）电感电压超前电流相位，即：电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
注意:（1）感抗表示限制电流的能力；（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
图 8.16 （a）图 8.16（b）图 8.16（c）电感的瞬时功率为：即电感的瞬时功率以 2ω交变，有正有负，如图8.16（a）所示。
电感在一个周期内吸收的平均功率为零。
3. 电容元件 VCR 的相量形式设图8.17（a）中电容的电压为：则对应的相量形式分别为：图 8.17（a）图 8.17（b）以上式子说明：（1）电容的电压相量和电流相量满足关系：其中X C =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。
（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。
（3）电容电压滞后电流相位，即：电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18（a）和（b）所示。