第7讲 中误差及误差传播定律1
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A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500*Sab=500X25.4=11700mm=11.7m
得 msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）
=±100mm
最后答案为SAB=11.7m±0.1m
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
二、和或差的函数
设有函数：
z x y
x y
n
影响。根据中误差定义，得
m m m
2 z 2 x
2 y
即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观 测值中误差的平方之和。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时， 即
z x1 x2 xn
可以得出函数Z的中误差平方为
m m m m
2
2 m n
测量学 基础
2
§5.3 误差传播定律
例 ：设有某函数z=S·sinα式中S=150.11m，其中误差
ms= 士 005m ； α=119°45′00″ ，其中误差 mα=20.6″ ；
求z的中误差mz。 解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。
m m sin m s cos m z 44m m
例 设有线性函救
观测量的中误差分别为， m 3mm, m 2mm, m 6mm 1 2 3
求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6m m 14 14 14
2 2 2
测量学 基础
[vv] m n 1
（白塞尔公式）
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
等精度观测直接平差步骤
1. 计算算术平均值
l1 l 2 l n [l ] x n n
2. 计算观测值的改正值
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln
目录
检核
2 z 2 x1 2 x2
2 xn
式中mxi是观测值xi的中误差。 n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观
测量学
测值中误差平方之和。
基础
§5.3 误差传播定律
例：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每
尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。
解：因为全长S=L＋L＋……＋Ll（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
测量学 基础
思考题
设有某函数z=S· tgα式中S=150.11m，其 中误差ms=士0.05m； α=129°45′00″， 其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
在相同的观测条件下，对某未知量进行n 次观测， 观测值分别为l1，l2, …，ln 求该未知量的最或然 值？ 设未知量的真值为X，
测量学
行了25km后，测得高差的中误差为 20 25 100mm
基础
§5.3 误差传播定律
三、线性函救
设有线性函数：
z k1 x1 k 2 x2 k n xn
4 9 1 z x1 x 2 x3 14 14 14
则有
m2 z (k1 x1 ) 2 (k 2 x2 ) 2 (k n xn ) 2
由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起 始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而 得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程 H 。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误
差去求观测值函数的中误差呢？
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
一、倍数的函数
2 2 2 2 2 mh m m m Sm km km km km AB 或 S个
mhAB s mkm
即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量 时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进
2 z 2 2 s 2
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式：
z f x1 , x2 xn
xn
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误 差之间的关系式： 式中，
f x i
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例如以30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺
段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为
mS m n
m90 5 3 8.7mm
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误 差都为 mL ，则每公里长度的量距中误差 mKm 也是相等的。
1 X l1 2 X l2 n X ln
目录
则观测值的真误差为：
[] [l ] X n n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
[] [l ] lim 0 x 根据偶然误差的第（4）特性 n n n
得出：
1.当观测次数无限增大时，观测值的算 术平均值趋近于该量的真值。 2. 在计算时，不论观测次数多少均以算术平 均值 x 作为未知量的最或然值。
时其正值与负值有互相抵消的可能；当 n愈大时，上式中最
后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
测量学 基础
§5.3 误差传播定律 将满足上式的误差 Δx 、 Δy 称为互相独立的误
差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测
值。对于独立观测值来说，即使 n 是有限量，由
于
lim n
0 式残存的值不大，一般就忽视它的
(i 1,2 n)
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求和，并除以n，得
2 z 2 x
2
2 y x y
n
n
n
n
由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，
因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关， 所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］
即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数 n 的平方根成正 比。
mh AB n m站
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高 差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的 水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为
xn
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
式中
的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们 是常数，因此上式是线性函数可为：
f 2 f x m 1 x 1 2
2
f xi
（i=l，2…n）是函数对各个变量所取
m
2
z
f 2 m 2 x n
第七讲 中误差及误差传 播定律
学时：2学时 主讲：徐克科
1
2014-5-22
第三章
本讲主要内容 第5章 测量误差的基本知识
§5.3误差传播定律 §5.4算术平均值及观测值的中误差
2
第三章
§5.3 误差传播定律 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系
的定律，称为误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要
[v ] 0
[vv] m n 1
测量学 基础
5.计算观测值的中误差
测量学 基础
n
n
§5.3 误差传播定律
mz
n 2 x mx n
2 z
2 2 x
m
2
z
k m
m z km x
即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值 中误差乘常数。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例：在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间
的距离SAB=25.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求
例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时因为x 与 y 不是独立观测值，因为不论 n 值多少，恒
有 m2 m2 m2 z x y
x
y
n
x
3 x xx 2 3 3m x n n
因此，应把Z化成独立观测值的函数，即 z=x+3x=4x 上式中 X 与 3X 两项是由同一个观测 值X组成的，必须先并项为z= 4x 而后求其中 误差，即mz= 4mx
§5.3 误差传播定律
四、一般函数
z f x1 , x2 xn
当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这 些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差 与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分
wk.baidu.com
来表达。
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
观测值的改正值
算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln
目录
可以证明，一组观 测值取算术平均值后， 其改正值之和恒等于零。 即
[v ] 0
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差 按观测值的改正值计算中误差
当对长度为 S 公里的距离丈量时，全长的真误差将是 S
个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。m
s
smks
即：在距离丈量中，距离 S 的量距中误差与长度 S 的平 方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例：为了求得 A、B两水准点间的高差，今自 A点开始进 行水准测量，经n 站后测完。已知每站高差的中误差均 为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为 A 、 B 两点间高差 hAB 等于各站的观测高差 hi （i=l，2…n）之和，
设有函数：
z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差
为mx，求Z的中误差mZ。
z k x
zi k xi (i 1,2 n)
2
zi
k
2
2
k
2 z 2 2 x
xi
(i 1,2 n)
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误
差为mx、my，求Z的中误差mZ。
设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则
z x y
zi xi yi
2 zi 2 xi 2 yi 2 x i yi
(i 1,2 n)
是用观测值代入求得的值。
3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：
m2 z f 2 f x m 1 x 1 2
2
f 2 m 2 x n
2
2 m n
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
得 msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）
=±100mm
最后答案为SAB=11.7m±0.1m
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
二、和或差的函数
设有函数：
z x y
x y
n
影响。根据中误差定义，得
m m m
2 z 2 x
2 y
即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观 测值中误差的平方之和。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时， 即
z x1 x2 xn
可以得出函数Z的中误差平方为
m m m m
2
2 m n
测量学 基础
2
§5.3 误差传播定律
例 ：设有某函数z=S·sinα式中S=150.11m，其中误差
ms= 士 005m ； α=119°45′00″ ，其中误差 mα=20.6″ ；
求z的中误差mz。 解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。
m m sin m s cos m z 44m m
例 设有线性函救
观测量的中误差分别为， m 3mm, m 2mm, m 6mm 1 2 3
求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6m m 14 14 14
2 2 2
测量学 基础
[vv] m n 1
（白塞尔公式）
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
等精度观测直接平差步骤
1. 计算算术平均值
l1 l 2 l n [l ] x n n
2. 计算观测值的改正值
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln
目录
检核
2 z 2 x1 2 x2
2 xn
式中mxi是观测值xi的中误差。 n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观
测量学
测值中误差平方之和。
基础
§5.3 误差传播定律
例：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每
尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。
解：因为全长S=L＋L＋……＋Ll（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
测量学 基础
思考题
设有某函数z=S· tgα式中S=150.11m，其 中误差ms=士0.05m； α=129°45′00″， 其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
在相同的观测条件下，对某未知量进行n 次观测， 观测值分别为l1，l2, …，ln 求该未知量的最或然 值？ 设未知量的真值为X，
测量学
行了25km后，测得高差的中误差为 20 25 100mm
基础
§5.3 误差传播定律
三、线性函救
设有线性函数：
z k1 x1 k 2 x2 k n xn
4 9 1 z x1 x 2 x3 14 14 14
则有
m2 z (k1 x1 ) 2 (k 2 x2 ) 2 (k n xn ) 2
由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起 始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而 得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程 H 。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误
差去求观测值函数的中误差呢？
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
一、倍数的函数
2 2 2 2 2 mh m m m Sm km km km km AB 或 S个
mhAB s mkm
即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量 时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进
2 z 2 2 s 2
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式：
z f x1 , x2 xn
xn
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误 差之间的关系式： 式中，
f x i
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例如以30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺
段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为
mS m n
m90 5 3 8.7mm
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误 差都为 mL ，则每公里长度的量距中误差 mKm 也是相等的。
1 X l1 2 X l2 n X ln
目录
则观测值的真误差为：
[] [l ] X n n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
[] [l ] lim 0 x 根据偶然误差的第（4）特性 n n n
得出：
1.当观测次数无限增大时，观测值的算 术平均值趋近于该量的真值。 2. 在计算时，不论观测次数多少均以算术平 均值 x 作为未知量的最或然值。
时其正值与负值有互相抵消的可能；当 n愈大时，上式中最
后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
测量学 基础
§5.3 误差传播定律 将满足上式的误差 Δx 、 Δy 称为互相独立的误
差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测
值。对于独立观测值来说，即使 n 是有限量，由
于
lim n
0 式残存的值不大，一般就忽视它的
(i 1,2 n)
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求和，并除以n，得
2 z 2 x
2
2 y x y
n
n
n
n
由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，
因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关， 所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］
即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数 n 的平方根成正 比。
mh AB n m站
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高 差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的 水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为
xn
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
式中
的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们 是常数，因此上式是线性函数可为：
f 2 f x m 1 x 1 2
2
f xi
（i=l，2…n）是函数对各个变量所取
m
2
z
f 2 m 2 x n
第七讲 中误差及误差传 播定律
学时：2学时 主讲：徐克科
1
2014-5-22
第三章
本讲主要内容 第5章 测量误差的基本知识
§5.3误差传播定律 §5.4算术平均值及观测值的中误差
2
第三章
§5.3 误差传播定律 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系
的定律，称为误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要
[v ] 0
[vv] m n 1
测量学 基础
5.计算观测值的中误差
测量学 基础
n
n
§5.3 误差传播定律
mz
n 2 x mx n
2 z
2 2 x
m
2
z
k m
m z km x
即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值 中误差乘常数。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例：在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间
的距离SAB=25.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求
例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时因为x 与 y 不是独立观测值，因为不论 n 值多少，恒
有 m2 m2 m2 z x y
x
y
n
x
3 x xx 2 3 3m x n n
因此，应把Z化成独立观测值的函数，即 z=x+3x=4x 上式中 X 与 3X 两项是由同一个观测 值X组成的，必须先并项为z= 4x 而后求其中 误差，即mz= 4mx
§5.3 误差传播定律
四、一般函数
z f x1 , x2 xn
当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这 些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差 与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分
wk.baidu.com
来表达。
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
观测值的改正值
算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln
目录
可以证明，一组观 测值取算术平均值后， 其改正值之和恒等于零。 即
[v ] 0
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差 按观测值的改正值计算中误差
当对长度为 S 公里的距离丈量时，全长的真误差将是 S
个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。m
s
smks
即：在距离丈量中，距离 S 的量距中误差与长度 S 的平 方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例：为了求得 A、B两水准点间的高差，今自 A点开始进 行水准测量，经n 站后测完。已知每站高差的中误差均 为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为 A 、 B 两点间高差 hAB 等于各站的观测高差 hi （i=l，2…n）之和，
设有函数：
z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差
为mx，求Z的中误差mZ。
z k x
zi k xi (i 1,2 n)
2
zi
k
2
2
k
2 z 2 2 x
xi
(i 1,2 n)
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误
差为mx、my，求Z的中误差mZ。
设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则
z x y
zi xi yi
2 zi 2 xi 2 yi 2 x i yi
(i 1,2 n)
是用观测值代入求得的值。
3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：
m2 z f 2 f x m 1 x 1 2
2
f 2 m 2 x n
2
2 m n
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律