数理方程与特殊函数(钟尔杰)数理方程复习

特征方程 dy 9
dx
dy 1 dx
( dy )2 10( dy ) 9 0
dx
dx
y = 9 x + C1 y = x + C2
9x y x y
4/24
9x y
x y
x x 9 1 y y 1 1
uxx + 10uxy + 9uyy = 0
a12 x x 5( x y y x ) 9 y y 9 5(9 1) 9 32
u t0
( x), u
t
Hale Waihona Puke Baidu
t0
(x)
u( x, t) 1 [( x at) ( x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
应用I:
x – at ≥0
utt u(
a2 x,0)
uxx
0, ( x),
(0 x , t 0)
ut ( x,0) ( x),(0
x
)
u0, t 0, (t 0)
y
tan L
h
v
8/24
Ex 8. 求边值问题的固有值和固有函数
y y 0
y(0)
y(L)
0
解：当 > 0 时，二阶常微分方程通解为
y Acos( x) B sin( x)
由边界条件，得B = 0 L n
n
n
L
所求固有值为
n
n2 2
L2
固有函数
yn( x)
n
An cos L
u( x, t) 1 [( x at) ( x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
x – at < 0
u( x, t) 1 [( x at) (at x)] 1
x at
( )d
2
2a at x
12/24
Ex13.求解半无界弦定解问题
uuttt
0
a
2uxx x3,
(Cn
cos
nat
L
Dn
sin
nat
L
) sin
nx
L
u( x,0)
n
Cn sin
n1
L
x
4x(L L2
x) h
Cn
2 L
L 4 (L ) n
0
L2
sin L
d
n≥1
10/24
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
F YS ( x dx)ux ( x dx, t) YS ( x)ux ( x, t)
ux 为相对伸长率, Y 是杨氏模量 S( x) (Rx / L)2 S( x dx) [R( x dx) / L]2
由牛顿第二定律,得
YS ( x dx)ux ( x dx, t) YS ( x)ux ( x, t) Sdxutt Y ( x 2ux )x x 2utt
(0 x , t ut t 0 x 2
0)
u x0 0
Ex 14. 求解半无界弦定解问题
2/24
二阶偏微分方程分类
a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f
称 a122 – a11a22 为判别式 1. 若 a122 – a11a22> 0,称微分方程为双曲型的
2. 若 a122 – a11a22= 0,称微分方程为抛物型的
3. 若 a122 – a11a22< 0,称微分方程为椭圆型的
《 数理方程》复习
偏微分方程的数学模型 二阶偏微分方程分类化简及求通解 分离变量法和固有值问题 达朗贝尔公式及其应用 付里叶变换定义及性质 几种特殊区域的格林函数 贝塞尔方程和贝塞尔函数
1/24
Ex1. 长为L,密度为 的底半径为R 的均匀圆锥杆(轴
线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x=0处。导出此杆 的振动方程 解:在 x 处, 半径 r(x) =Rx/L, 取dx 微元
0
n
Xn ( x) Bn sin L x
X X 0, 0 x L
X
(0)
0,
X
(
L)
0
n
(2n
1)2
4 L2
2
(2n 1)
X n( x) Bn sin 2L x
X X 0, 0 x L
固有值问题III
X
(0)
0,
X (L)
0
n
n2 2
L2
n
X n ( x) An cos L x
x
( n = 0,1,2,… )
9/24
Ex
9.
utt u x0 u t0
a2uxx , (0 x 0, u xL 0
( x),ut t0
L, t 0
0)
(x)
4x(L L2
x)
h
过三点 (0, 0), (L/2, h), (L, 0) 的抛物线作初始位移
u( x, t)
n1
Ex 6. 求方程 uxx –(4x2 )uyy = 0 的通解 Ex 7. 构造非奇异变换，化简微分方程
sin2 y uxx 6cos x sin y uxy 8cos2 x uyy 0
6/24
固有值问题I:
n
n2
L2
2
固有值问题II
X X 0, 0 x L
X
(0)
0,
X
(
L)
utt = a2uxx
双曲型
ut = a2uxx
抛物型
uxx+ uyy = 0
椭圆型
3/24
Ex2: x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
dy x22 2 xy y2 0
dx
( x y) 0 y / x
Ex3. 求方程通解 : uxx + 10uxy + 9uyy = 0
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
Ex12.
求解方程
uuttx
0
a 2 uxx 0, u
A
xL
B
u t0 0, ut t0 0
11/24
达朗贝尔公式
2u a2 2u
t 2
x 2
x , t 0
7/24
固有值问题IV
X X 0, 0 x L
X
(0)
0,
X (L)
0
n
(2n 1)2
4 L2
2
(2n 1)
Xn( x) An cos 2L x
固有值问题V
X X 0, 0 x L
X
(0)
0,
[X
hX ]xL
0
通解: X ( x) Acos x B sin x
标准方程: u 0 u f ( ) g()
9x y, x y
原方程的通解
u(x , y ) = f( 9x – y ) + g(x – y )
5/24
Ex 4. 求方程通解: 4uxx + 8uxy + 3uyy = 0
Ex 5. 求方程的通解
y2uxx 6xyuxy 8x2uyy 0