比例线段教学设计
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比例线段
【学习内容】
1、比例及其性质。
2、两条线段的比,比例线段。
3、黄金分割。
【重点、难点】
重点:比例及其性质,黄金分割。
难点:比例性质的运用。
【知识讲解】
一、复习与巩固比例有关内容。
1、四个数a,b,c,d成比例定义,比例的项,内、外项的含义。
(1)两个比相等的式子叫比例,记作:(a∶b=c∶d),称作:a,b,c,d成比例(其中a,b,c,d均不为0)。
(2)“比”——两数相除叫两数的比,记作:(a∶b),在此a是比的前项,b是比的后项。
(3)中各部分名称
①a,d叫比例的外项②b,c叫比例的内项
③d叫做a,b,c的第四比例项(a,b,c顺序不准乱动)
(4)比例中项
若a∶b=b∶c,则b叫a,c的比例中项。
如:在比例式中,c是线段3a、m、m的第四比例项。m是线段3a、c的比例中项。
2、比例的基本性质
小学学过“比例的外项乘积等内项的乘积”,故可推出a·d=b·c。其实我们可以这样去理解,因为a,b,c,d均不为0,用等式性质(去分母法)将两边同乘bd得到a·d=b·c;反之,将ad=bc同除以bd可得。因此,我们得到如下的比例基本性质:“”的意义是由左边可推出右边,且由右边也可推出左边,称为等价符号。
如:b2=ac这两个式子均表示b是a,c的比例中项。
其实,由ad=bc还可得到另七个与不同的比例式:
、,这些是比例的变形。比例变形是否正确只需把比例式化为等积式,看与原式所得的等积式是否相同即可,相同说明正确,反之,比例变形就是错误的。
二、线段的比,比例线段
1、线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的比。
如:(1)若a,b为两条线段,且a=5cm,b=10cm。它们的比:a∶b=5cm∶10cm=0.5。
(2)若c,d为两条线段,且①c=5cm,d=100mm。求c∶d;②c=0.05m,d=0.1m,求c∶d。
①d=100mm=10cm,故c∶d=0.5②c∶d=0.05m∶0.1m=0.5
注意:1)、a,b代表两条线段,a∶b=k,a是b的k倍;(一般a∶b≠b∶a,只有当k=1时,a∶b=b∶a)
2)、求两条线段的比时,必须统一单位;
3)、两条线段的比值与采用的长度单位无关;
4)、两条线段的比总是正数(因为线段长为正数);
2、比例线段
(1)在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
(2)概念的理解
①必须是四条线段才能成比例,并且有顺序。若,则叫a,b,c,d成比例;反之,
若a,b,c,d成比例,则有;若,则叫c,d,a,b成比例。
②在中,d是a,b,c的第四比例项,而在中,b是c,d,a的第四比例项。
③在线段a,b,c中,若b2=ac,则b是a,c的比例中项。
在线段a,b,c,x中,若x=,则x是a,b,c的第四比例项。
由此可见前面所学的比例性质均可用于成比例线段中。
④又如四条线段m=1cm,n=3cm,p=4cm,q=12cm,可以发现,这说明m,n,
p,q成比例,不能说明m,p,q,n成比例,因为m,p,q,n成比例,则有。
3、应用比例的基本性质判断成比例线段
将所给的四条线段长度按大小顺序排列,如:a>b>c>d,若最长(a)和最短(d)两条线段之积ad与另两条线b、c之积bc相等,则说明线段a,b,c,d 成比例。
三、比例的另外两条重要性质
1、合比性质
如果,那么,
因为:,∴,∴
2、等比性质
如果=……=(b+d+……+n≠0),那么
因为:设,则有a=bk,c=dk,……,m=nk
∴
四、黄金分割
1、黄金分割:是指把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2=AB·BC),C点为黄金分割点。
说明:
①一条线段有两个黄金分割点。
②这种分割之所以被人们称为黄金分割,是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值。德国著名天文学家开普勒(Kepler,1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”,说它是几何中的瑰宝,大家也可以看一下课外的阅读材料,体会一下黄金分割中所蕴含的美学。
2、黄金分割的求法
①代数求法:
已知:线段AB
求作:线段AB的黄金分割点C。
分析:设C点为所求作的黄金分割点,
则AC2=AB·CB,
设,AB=,AC=x,那么CB=-x,
由AC2=AB·CB,得:x2=·(-x)
整理后,得:x2+x-=0
根据求根公式,得:x=
∴(不合题意,舍去)
即AC=AB≈0.618AB
则C点可作。
②黄金分割的几何求法(尺规法):
已知:线段AB
求作:线段AB的黄金分割点C。
作法:如图:
(1)过B点作BD⊥AB,使BD=AB。
(2)连结AD,在AD上截取DE=DB。
(3)在AB上截取AC=AE。
则点C就是所求的黄金分割点。
证明:∵AC=AE=AD-AB
而AD=
∴AC=
∴C点是线段AB的黄金分割点。
例2:已知,线段a=cm,b=4cm,c=cm,求a,b,c的第四比例项。解:设a,b,c的第四比例项为xcm,
根据比例的定义得:,
∴a,b,c的第四比例项为cm。
例3 :已知,a=2.4cm,c=5.4cm,求a和c的比例中项b。
解:依题意得:b2=ac=2.4×5.4=12.96
∴b=±3.6
∵b为线段∴b>0
∴b=3.6cm。