安培环路定理

I2
I1
L
I3
LB dl o Ii
L内
LB dl o ( I1 I3 )
符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向
服从右手关系时 I为正，否则为负。
说明:
•安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 •B的环流与仅与闭合路径内电流代数和有关,而与电流在其中的 分布位置无关，但路径上磁感应强度B是闭合路径内外的电流共 同产生。 •安培环路定理的物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
S
2、解释
由于磁感应线是闭合的，因 此对任意一闭合曲面来说， B 有多少条磁感应线进入闭合 曲面，就一定有多少条磁感 应线穿出该曲面。
S
3、说明
•磁场是无源 场,非保守场； 电场是有源场，保守场 •磁极成对出现，不存在磁单极； 存在单独正负电荷
0I 0nI ab
b f
d
∞
c
(2)管外 :
B内 o nI
其方向与电流满足右手螺旋.
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为 零.
B 0
例4、求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ，总匝 数为N，通有电流强度为 I 设螺绕环的半径为R1，R2, 以平均半径R 作圆为安培回路 L,可得：
补偿法：设想在空洞里同时存在 a.对半径为R的无限长载流导体
(R a )
2 2
a
O
b
0 2 B1 R j (a b) 2 2 R
0 ( a b) j 2
b.对半径为a的无限长载流圆柱体
0 0a 2 B2 a j j 方向如图 2a 2 0 a b 0 a BP B1 B2 j j
S S1 S2
s1
L
B dS B dS
S1 S2
s2
即曲面的磁通量仅由 S1、S 2 的共同边界Ｌ决定 能找到一个矢量Ａ，使
矢量 A
A dl B dS
L S
：磁场的矢势
取无穷远处的矢势为零,任意的有限大小的载流回路的矢势
0 I d百度文库 A 4 L r
l l
l
电流为负
(2) 围绕载流导线的任一回路.回路平面垂直于导线 L B
B dl Bdl cos
0 I Brd d 2 o I LB dl L 2 d o I
B1 dl1 B2 dl2
L
I
dl
j
B dl1
dl2
dB dB2
dB1
B
P
解：作矩形闭合回路abcda
B dl B dl B dl
2Bl 0 jl B 0 j a B 2
两侧是均匀磁场, 大小相等， 方向相反
L
bc
da
b
d l c
A Az (r )ez
作矩形回路abcda.ab的长 度为L b c A dl a A dl b A dl
L
c
Q
r Q
dr
P
I
b
A
a c A dl d A dl d b a A dl c A dl
令 B1 , B2 Bn k分别
为单根导线产生的磁场
Ii
I nk


L
L
Bi dl 0 I i
in
in
Bi dl 0
LB dl L ( Bi ) dl L Bi dl o Ii
i i L内
思考:若电流被L回路包围了n次.则B的环流是多少?
S
Idl


0 Idl sin dS 2 cos 2 2 4r 0 Idl sin dS 2 2 4r
dS1 dS2 dB1 dB 2 0 B dS 0
S
四、 磁矢势
B dS B dS B dS 0
证明:
证明:考虑电流元磁场中 的闭合曲面S.取磁感应管 d B1 B1 dS1
d B 2 B2 dS2
0 Idl sin dS1 cos 1 2 4r 0 Idl sin dS1 2 4r
2 B2
dS2
dS1
1
B1
安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
一、安培环路定理 B 1、内容
在真空中的稳恒电流磁场中， 磁感应强度沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过这回路的 所有电流强度代数和的μ 0倍.
例3、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场.单位长度匝数为n.
解:由于是密绕，每匝为视 为圆线圈。分析知管内磁 场方向平行于轴线.
(1)管内:取L矩形回路 abcda 边在轴上，两边与轴平行,另 两个边垂直于轴。
I
ˆ B Bz z
a e
P Q
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
2 0bI 0b j 2 2 2 ( R a ) 2 2
R
O
B1
P a
B2
方向竖直向上
b
(2)对空腔内的点:
0 B J r 0 2 0 B1 J r1 B2 ( J ) r2 2 2 0 0 B B1 B2 J (r1 r2 ) J b 2 2
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的 穿过的磁感应线的数目。
2、几种典型的磁感应线
B
I
载流长直导线 圆电流 载流长螺线管
3、磁感应线特性
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。
二、磁通量
1、磁通量定义：
d m B dS B cosdS
B
例 6.半径为 R的无限长直导体，内部有一与导体轴平行、 半径为a的圆柱形孔洞，两轴相距为b。设导体横截面上均 匀通有电流 I ，求 (1)P 点处的磁感应强度。 (2) 圆柱形孔洞 内的磁场. 解： (1)P 点 : 设导体中电流密 度方向垂直于纸面向外 , 电流 密度大小为 P I
j
R
密度为 j和 j 的电流
单位:韦伯(Wb)
, B 0 ; , B 0
2 2
磁通量的大小等于通过磁场中某一曲面的磁 感应线的数目.


任意曲面的磁通量: m B dS
dS
闭合曲面的磁通量: 闭合曲面的法线:取外法线
m B dS
S

n
B
L
三、 高斯定理
2、证明 (1)包围载流直导线的圆回路,回路平面垂直于导线
0 I B dl Bdl rd 0 I l l l 2r
若回路方向与电流方向不服 从右手螺旋法则:
0 I B 2r
B dl Brd
L
d
I
B
dl
I
B dl Bdl 0 I
0 I rQ A(rp ) ln 2 rP
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势. 选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
d
d
a
rP
r B B dS r Bldr
Q P
[ A(rP ) A(rQ )]L
r
rQ
P
rQ 0 I 0 I ldr l ln 2r 2 r
0 I rQ A(rP ) A(rQ ) ln 2 rP
若选Q点的矢势为零,则
+I
Q
-I
L
r
dB '
L
dB
'' dB
1. r>R 时：
I I , B 2 r 0 I 0 I B 2r
2.r<R 时：穿过积分回路L的
电流为
I 2 I 2 r R

I
B 2r 0I
0 Ir
R
2
2
B
0 Ir B 2 2R
0
R
r
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流 都集中在轴上的直线电流的磁场相同
r R : I 0, B 0
dl '
B
r
例2:试求一均匀载流的无限长圆柱导体 内外的磁场分布。设圆柱导体的半径为 R，通以电流I 解：此电流体系磁场具有轴对称,取以轴 线为中心、半径为r的圆作为积分回路L
I
B
Bdl 2 rB B d l L
结论:空腔内的磁场为均匀磁场
0 Ir 0 jr B ,r R 2 2 R 2
R
r1 · B2 o · · r2 Ob 1
B1
三、载流线圈与磁偶极层的等价性
载流线圈的磁场:
0 Idl r 0 I B 3 4 L r 4 e E 4 0
例1、求无限长圆柱面电流的磁场
分布(半径为 R )
解:分析场结构：有轴对称性 以轴上一点为圆心，取垂直于轴 的平面内半径为 r 的圆为安培环路
I
dl
''
dB
LB dl 2rB oI
' dB
'' dB
o I r R : I I , B 2r
很相似.
Ω是载流线圈对场点张的立体角,上式与电偶极层外的电场
磁偶极层的磁场强度:
m 代表单位面积上磁偶极矩
m H 4 0
§4. 磁场的高斯定律 磁矢势
一、磁感应线的特点
1．磁感应线：
•磁感应线上任一点切线的方向即为磁感应强度的方向。
•磁感应强度的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
B dl B2R o N I
L
B o nI R1 R R2 n N / 2R
B0 R R1
L
P O r
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。 同理可求得
螺绕环管外磁场为零。
例5.一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度(即通过与 电流方向垂直的单位长度的电流 )，大小为j。求平面外磁 场的分布
§3. 安培环路定理 (Ampere circuital theorem)
安培 (Ampere, 1775-1836)法国物理学家，
电动力学的创始人。1805年担任法兰西学院 的物理教授，1814年参加了法国科学会， 1818年担任巴黎大学总督学，1827年被选为 英国皇家学会会员。他还是柏林科学院和斯 德哥尔摩科学院院士。
说明: 1. 电流元的矢势dA与dl方向一致.矢势不唯一. 2. 此式是在选取A(∞)=0的前提下得出的,适用于 电流分布在有限区域. 3. 此式类似于静电场
U
4
0
S
1
dv
r
当磁场的矢势具有对称性时,可利用
A dl B dS
L
计算磁场的矢势
例1.求无限长载流直导线的磁矢势.已知电流为I. 解:磁矢势方向平行于z轴. 大小只与r有关.即 z
B dl 0 nI
L
注意:1.若环路内穿过的电流代数和为零,不能由 此判断环路上的B为零； 2.若环路上的B处处为零,只能说明环路内电 流 代数和为零；不能由此得出环路内无电流.
I
L
二、安培环路定理的应用
LB dl o Ii
L内
1.分析磁场的对称性.若具有对称性,可用环路定理求解； 2.过场点选取合适的闭合回路 3.计算B的环流及闭合回路内包围的电流代数和 4.最后由安培环路定理求出磁感应强度。

d
(3)回路不包围载流导线，回路平面垂直于导线
0 I (d d ) 0 2
B dl 0
L
I
B2
dl1
B1
dl 2
d
(4)回路包围多根载流导线
I n 1
I1
L
设有n个电流Ii穿过回路L(1≤i≤n), k个电流Ii不穿过回路L ，n<i≤n+k