称为对角矩阵

13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
2. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
发站
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
1
（3）形如
0
0
0
2
0
0
0 的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
一、矩阵概念的引入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解取决于
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
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ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym的 线性变换. 其中 aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
(5)方阵
1 0 0
E
En
0
1
0
0 0 1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
x2
,
yn xn
y1 x1,
y2
x2
,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0 0
0
1
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx sinx
siny, cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
改成1,空白地方填上
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
例2 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
三、小结
(1)矩阵的概念
a11
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
主对角线 a11
A
a21
副对角线 am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵
相等,记作 A B.
例1 n个变量x1, x2, , xn与m个变量y1, y2, , ym之 间的关系式
方阵 m n; 行矩阵与列矩阵; (2) 特殊矩阵 单位矩阵; 对角矩阵; 零矩阵.
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n a2n 系数矩阵 amn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2