几种特殊矩阵与矩阵的分块

0
0 annbnn
二
、
单
位
阵
： 记 为I或E。
即
：I
1
0
0 1
IA AI A , I n I，规定：A0 I
a 0
三、数量矩阵：Ann
0 a
Ann Bnl aBnl , Bmn Ann aBmn
四、三角形矩阵
a11 上 三 角 形 矩 阵 ：A
注意： 1) 矩阵乘法一般不满足交换律，即：
AB BA
如果对A, B有AB BA，则称A与B是可交换的。
2) AB 0一般不能得到A 0或B 0。 3) AB AC,且A 0,但一般不能得到B C.
4) A, B为同阶方阵，则AB A B . 推 广 ：A1 A2 As A1 A2 As
矩阵的转置 ( AB：)T BT AT
§2.3 几种特殊的矩阵
对于一个方阵：
a11 a12 A a21 a22
aபைடு நூலகம்1 an2
a1n
a2n
ann
副对角线 主对角线
上三角阵、下三角阵、对角阵
a11 a12 a1n
上
三角阵：
0
a22
a2n
0
0
ann
a11 0 0
0 1 b
A11 E
O A22 ,
A11
a 0
1 a
O
0 0
0 0
E
1 0
0 1
A22
b 1
1 b
a 1 0 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A1
A2
A3
A4 ,
0 1 1 b
注： 1、分块时首先考虑 E ，再考虑对角或三角矩阵，
然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
2、按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
0
a11 下 三 角 形 矩 阵 ：A
an1
a1n
ann
0 ann
特别：上（下）三角形矩阵的和、差、 数乘、乘积还是上（下）三角形矩阵。
五、对称矩阵：
n阶方阵A (aij )nn ,如果满足aij a ji ,
(i, j 1,2, , n),则称A为对称矩阵。
0 1 0
1 -1 1
如：A 1 0 0 ，B - 1 2 4 ，是对称矩阵。
0 0 1
1 4 3
A为对称矩阵的充分必要条件是AT A
对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
例
：A
0 1
11,
B
1 1
11 ;但AB不是对称矩阵
六、反对称矩阵：
n阶方阵A (aij )nn ,如果满足aij a ji , (i, j 1,2, , n),则称A为反对称矩阵。
A1r B1r
M
.
Asr Bsr
二：数乘
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
A1r
M
.
Asr
三：乘法
设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
M
,
B
M
Ast
Bt1 L
B1r M , Btr
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
a
即
A
0 10
1 a
0 1
0 0
b 1
0 0
b1
B1 BB23
1 0 0 3
A
0 00
1 0 0
0 1 0
1
0 1
1 0 0 3
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1
0 1
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
下三角阵： a21 a22
0
an1
an2
ann
1 0
单位阵：
E（n 或In）
0
1
0 0
a1 0 L 0
对角阵：
0
a2
L
0
M M O M
0
0L
an
记为：A diag(a1, a2,L , an )
k 0 L
数量阵： 0 k L M M O 0 0 L
0
0 (主对角元相等） M
其中 Ai1, Ai2 ,L的,列Ai数t 分别等于
B1的j , B行2 j数,L. , Btj
A11 A12 A1t
A21 A22
A
Ai1 Ai2
A2t Ait
B
B11 B21 Bt1
B12 B22 Bt 2
B1 j B2 j Btj
B1r
k
0 0（非常重要）
1
一、对角阵
a11 0
b11 0
设A , B
0 ann
0 bnn
a11 b11 性质：1) A B
0
0 ann bnn
kb11 0
a11b11
2) kB 3) AB
0 kbnn
0 1 2 如：B＝ 1 0 9
2 9 0
主对角线 元素必为0
A为反对称矩阵的充分必要条件是AT －A。
反对称行列式，奇数阶反对称行列式为0
例题举例
例1：设A是一个m n矩阵，则AT A和AAT 都是对称矩阵。
例2 ：AT A, BT B,则AB BA ( AB)T AB。
例3.A, B为任意n阶矩阵，证明：BAT ABT 是反对称矩阵.
B2r
Btr
As1 As2 Ast
那么
C11 L
AB
M
C ij
Cs1 L
C1r M Csr
其中 Cij Ai1B1 j Ai2B2 j Ait Btr
i 1,L , s; j 1,L ,r .
1 0 0 0
1 0 1 0
例5：设A
0
1
1 2
0 1
0
,
0
例4：f
(
)
2
5
3,
且A
2 3
31;求f ( A).
§2.4 矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵，为简化运算，常采
用分块法，使大矩阵化成小矩阵的运算.
具体做法：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个
小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵.
如：
a
A
0 1
0
1 a 0 1
分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算与普通矩阵运算规律相似. 一、加法
设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
M
,
B
M
Asr
Bs1 L
其中 Ai与j B为ij同型矩阵，则
B1r M Bsr
A11 B11 L
A
B
M
As1 Bs1 L
B
1
1
2 0
0
1
,
求
AB.
4 1
1
1
0
1
1
1
2
0
1 0 0 0
解：分块
A
0
1
1 2
0 1
0 0
E A1
O
E
,
1
1
0
1
1 0 1 0
B
1
1
2 0
0 4
1 1
B11 B21
E
B22
,
1
1
2
0
四、转置 分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置.
A11 L