圆的方程及空间直角坐标系(讲义)

圆的方程及空间直角坐标系（讲义）

➢ 知识点睛

一、圆的方程

1. 圆的标准方程：________________________， 圆心：_________，半径：________．

2. 圆的一般方程：_______________________（

_____________，半径：_____________．

二、位置关系的判断 （1）点与圆

由两点间的距离公式计算点到圆心的距离d ，比较d ，r 大小． ①已知点P (x 0，y 0)与圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2， 则计算2d =___________________，比较2d ，2r 大小． ②已知点P (x 0，y 0)与圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=， 则计算______________________，与0比较大小． （2）直线与圆

①利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d ，比较 d ，r 大小．

②联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根据∆判断：

000∆<⎧⎪

∆=⎨⎪∆>⎩

，

直线与圆相离，

直线与圆相切，直线与圆相交． （3）圆与圆

利用两点间的距离公式求圆心距d ，结合两圆半径和d

三、常见思考角度

1. 直线与圆位置关系常见考查角度 （1）过定点求圆的切线方程

①判断该点与圆的位置关系（若点在圆内，则无切线）． ②根据切线的性质求切线方程．

若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程；

若点在圆外，则分别讨论____________________，设点斜式利用求解．

（2）直线与圆相交求弦长

结合垂径定理和勾股定理，半径长r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 满足关系

式：222()2

l

r d =+．

2. 圆与圆位置关系常见考查角度

（1）两圆相交求公共弦所在直线方程

设圆2211110C x y D x E y F ++++=：

， 2222220C x y D x E y F ++++=：，则公共弦所在直线的方程为

121212()()0D D x E E y F F -+-+-=．

（2）两圆相交求公共弦长

定理结合求弦长． 四、轨迹方程

在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 (x ，y )满足的关系式．

五、空间直角坐标系Oxyz （右手直角坐标系）

如图1，O 点叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．

图1 图2

六、空间直角坐标系中点的坐标

如图2，过点M 分别作垂直于x 轴，y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴，y 轴和z 轴于点P ，Q 和R ．设点P ，Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么点M 对应唯一确定的有序实数组(x ，y ，z )．

有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫做点M 的__________，y 叫做点M 的__________，z 叫做点M 的__________． 七、空间两点间的距离公式

如图3，设空间直角坐标系中点P 的坐标是(x ，y ，z )，则

|OP |=_____________________．

如图4，设点11112222()()P x y z P x y z ，，，，，是空间中任意两点，则

12||PP _____________________________．

0)

)

图3 图4

➢ 精讲精练

1. 写出下列圆的标准方程：

（1）圆心在(34)C -，

（2）圆心在(83)C -，，且经过点(51)M ，．

2. 下列方程：

①x 2+y 2-6x =0；②x 2+y 2-2x +4y -6=0；③x 2+y 2=0；

④22(240x y y -+-+=；⑤y 2+x 2+5y -4x +5=0． 其中表示圆的是_____________．（填写序号）

3. 已知圆的方程是22(3)(2)25x y -++=，则圆心为__________，半径为

_________．点(5，-7)在__________，点(42)在 __________．（填“圆上”、“圆外”或“圆内”）

4. 圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的圆心是_________，半径是________．

点(1，3)在____________，点(1-1-)在____________． （填“圆上”、“圆外”或“圆内”）

5. 已知△OAB 的三个顶点的坐标分别是O (0，0)，A (1，1)， B (4，2)，则它的外接圆的方程为_____________________．

6. 已知直线方程为mx -y -m -1=0，圆的方程为x 2+y 2-4x -2y +1=0．

（1）若直线与圆只有一个公共点，则m 的值为___________；（2）若直线与圆有两个公共点，则m 的取值范围

是___________________．

7. 过点(3，1)作圆(x -1)2+y 2=1的切线，则切线的方程是______________________．

8. 圆x 2+y 2-4x +4y +6=0截直线x -y -5=0所得的弦长为________．

9. 已知圆C 1：x 2+y 2+2x +8y +1=0，圆C 2：x 2+y 2-4x +4y -1=0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是__________．

10. 圆x 2+y 2-10x -10y =0与圆x 2+y 2-6x +2y -40=0的公共弦长 为____________．