最新(同济大学)高等数学课件D112数项级数及审敛法44231

定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) v n u n ( l ) v n (nN)
证明提示: nl i m nun,对任意给定的正数
存在 NZ,
nu n 1 1
即
( )n u n ( )n 1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 n n
p
1(n )
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 nl i mnun,则
为正项级
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n !
3)
n n110 n
.
发散
收敛
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
1 ) 1 1 1 1 ( 1 )n 11 n 1 1
收敛
2 ) 1 2 2 1 ! 3 3 1 ! 44 1 ! (u un1 n)1n n 1n 1 ( !n101 0n1n n1!n)1! 11n01n收1n敛1
3 )1 1 1 0 2 2 0 1 3 3 0 1 4 4 0 ( 1 )n 1 1 n n 0 收敛
数 条件收敛 .
例如 ： (1)n1 1 为条件收敛 .
n1
n
n1(1)n11n0n 均为绝对收敛.
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sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
(同济大学)高等数学课 件D112数项级数及审
敛法44231
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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设
为正项级数, 且 limun1 , 则
(1)
当
1
时,
n
级数收敛 ;
un
(2) 当1或 时, 级数发散 .
证: (1) 当1时,
知存 N 在 Z,当nN时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
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(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
(2) 当l 0且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
1
1 n 1
1 n (n 1)n
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二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 ,n 1 ,2 , ,则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 1 )u n u n 1 ( n 1 ,2 , ) ;
时
从而
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim u n 1 lim ( n 1) p 1
n un
n
1 np
p1, 级数收敛 ;
但 p1, 级数发散 .
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p1, 级数收敛 ;
但 p1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
nun
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rnSSn,则所求误差为 0rn(n1 1)n1(n1 2)n2
(n
1 1)n1
1
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
vn
同时收敛或同时发散 ;
n 1
(2) 当l = 0时,
若 v n 收敛 ,
n 1
由定理2 知
(3) 当l = ∞时,
即
un vn
由定理2可知, 若 v n 发散 ,
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
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证: S 2 n ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 n 1 u 2 n ) S 2 n u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 4 u 5 ) ( u 2 n 2 u 2 n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故
又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 ) 故级数收敛于S, 且 S u1,
(u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: