正定二次型与正定矩阵

a11
0,
a11 a21
a12
0,
a11 ,
a22
an1
a1n 0; ann
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即
a11 (1)r
ar1
这个定理称为霍尔维兹定理。
a1r 0,(r 1,2, , n). arr
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定 二次型等概念。
称为负惯性指数
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定义9 设有实二次型
f xT Ax, 如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的 ，记 作A<0。
的正定性。 解 f 的矩阵是
1 A 1
1 0
2 0,
A 的各阶主子式为：
2 0 1
a11
1
0,
a11 a21
a12 1 a22 1
1 1 0,
0
112
A 1 0 0 1 0,
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。
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例19设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，则C TAC是正定的。
i 1
再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则
当显y然Cees时s ,
0.
( 单位坐标向量 ) 时，
f (Ces ) ks 0,
这与假设 f 正定矛盾， 故ki 0.
推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即
定理12 实二次型
f xT Ax 为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换 x Cy使
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1
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先证充分性
设ki
0(i
1,2,
, n).任给x
0,
则C
1
x
0, 故
f (x)
n
ki yi2 0.
二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。
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例17
判别二次型
f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz
的正定性。
解 f 的矩阵是
证
有f
因为A 为正定，所以对任意
xT
Ax
0,
作x
Cy,
则f
yTx(CT0A, C) y,
由x
0及C可
逆,
得y
C
1
x
0,
从而
f
xT
Ax
yT
(C
T
AC
)
y
0,
即C TAC是正定的。
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Ex.1证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 2 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
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例16 判定对称矩阵
3 1 0
A 1
3
0
正定性。
0 0 3
解 方法一
因为a11 3 0,
310
a11
a12 3
1 8 0,
| A | 1
3
0 24 0,
a21 a22 1 3
003
所以A 是正定的。
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方法二：A 的特征多项式为
3 1 0 | A E | 1 3 0 (2 )(3 )(4 ),
问取何值时, f为正定二次型.
解
f 的矩阵是
A 的各阶主子式为：
1 1 A 4 2 ,
1 2 4
a11
0,
a11 a21
a12 1
a22
4 2 0,
4
A 4( 1)( 2) 0, 解得 2 1时,二次型为正定的.
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Ex.1 1
判别二次型 f x12 2x1 x2 4x1 x3 x32
§7 正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的 特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若 A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
0 0 3
故A的特征值为1 2, 2 3, 3 4.从而知A是
正定的.
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定 性也有两种方法。
一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是 正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。
5 2 2 A 2 6 0 ,
2 0 4
A 的各阶主子式为：
a11
5
0,
a11 a21
A 80 0,
a12 5 a22 2
2 26 0,
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所以 f 是负定的。
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例18 设二次型
f x12 4 x22 4 x32 2x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
证
因为A 为正定，所以对任意
x
0,
有f
xT
Ax
0,
取x eiT
(0,
,1,
,0),
则xT Ax aii 0(i 1,2, , n).
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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型
f
xT
Ax,
它的秩是 r ，有两个实的可逆变换
x
Cy与x
Pz,
使
k1 y12 k2 y22 kr yr2 , (ki 0)
及
1 z12
2z22
r
z
2 r
,
(i 0)
则k1, k2 , , kr中正数的个数与1, 2 , , r中正数的
个数相等. 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数