高等数学上册例题

高等数学

第一章 函数、极限与连续

1.1 函数 1.1.1 函数的概念

例1 在自由落体运动中，物体下降的路程随着下降时间的变化而变化，下落距离h 与

时间t 由公式2

2

1gt h =

联系着，其中g 为重力加速度，若物体落地的时刻为T ，则当t 在闭区间],0[T 上任取一值时，按上式确定的规律，h 就有一个确定的值与之对应。

例2 某运输公司规定货物吨公里运价为a 公里以每公里k 元，超过a 公里时超出部分

为每公里k 54元，运价P 与里程s 之间的关系为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧<-+≤≤=s a a s k ka a s ks P );(54

0;

据此关系，我们就可以得到任何里程的运价。

例3 常数函数

2=y

定义域为),()(+∞-∞=f D ，值域为}2{)(=f R ，其图形为平行于x 轴的直线，如图所示

例4 绝对值函数

⎩

⎨

⎧<-≥==0,,0,

||x x x x x y 定义域为),()(+∞-∞=f D ，值域为),0[+∞=f R ，图形如图所示

例5 符号函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y

定义域),(+∞-∞=D ，值域}1,0,1{-=f R ，图形如图所示。对任一实数x 有||sgn x x x ⋅=

例6 最大整数函数：设x 为任一实数，则用][x 表示不超过x 的最大整数。例如

3]9.3[,2]2[,1]2[,4][,131===-=--=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-π等等。记作][x y =，其定义域为),(+∞-∞=D ，

值域Z R f =，因为 ,2,1,0,1,][±±=+<≤==n n x n n x y ，图形如图所示

在例4，例5及例6中我们看到，函数由几个式子表示，类似这样的函数称为分段函数。 例7 Dirichlet （狄利克雷）函数

⎩⎨

⎧==为无理数，

为有理数

x x x D y 0,1)( 定义域为),(+∞-∞=D ，值域为}1,0{=f R 例8 根据个人所得税法规定，个人月收入减去800元余额的部分为应纳所得税。纳税

所得额不超过500元的部分，税率为5％；超过500元到2000元的部分，税率为10％；超过2000元到5000元的部分，税率为15％。据此规定，可以写出月收入在5800元以下者月收入x 元与应交纳个人所得税y （元）之间的函数关系。

⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧≤<⋅-++≤<⋅-+≤<⋅-≤=58002800,10015)2800(1502528001300,10010

)1300(251300

800,1005)800(800,

0x x x x x x x y 1.1.3复合函数与反函数

例9 某金属球的体积V 是其半径r 的函数：3

3

4r V π=。由于热胀冷缩，球的半径又随着温度T 变化，设r 随着T 的变化规律是

)017.01(0T r r +=，其中0r 是常数。将)017.01(0T r r +=代入33

4

r V π=，就得到体

积V 与温度T 之间的函数关系

330)017.01(3

4

T r V +=π 像这样将一个函数代入另一个函数而得到的函数，称为由这两个函数构成的复合函数。

1.1.5 初等函数与非初等函数

例15 ⎩⎨

⎧>≤=0

,10

,0)(t t t f ，这是电子技术中常用到的“单位阶跃函数”，是一个非初等函

数。 例16 对于每一个实数t ，考虑方程

22+=tx x 。

观察函数x

y 2=与2+=tx y 的图形（图1－

7）可以发现，当0≤t 时，这两条曲线有唯一交点，用),(t t y x 表示这个交点，则交点的横坐标t x 就是方程22+=tx x

的唯一解。当t 在]0,(-∞中

任意变化时，t x 也随之变化，于是由此确定了一个 图1－7

函数关系)(x f x t =。虽然这个函数不能使用初等函数表示，但是t x 对t 的依赖关系是客观存在的，这个函数关系是由方程22+=tx x

确定的。

例17 设半径为a 的动圆在x 轴无滑动地滚动，圆周上一定点的轨迹称为摆线（图1－8）。该曲线确定了

x 与y 之间的某种函数关

系，但我们不能用初等函数将其表示，也很难用一个方程),(y x F ＝0描述这个函

数关系，但却可用一个参数方程容易地表示出x 与y 的函数关系。摆线的参数方程是

)

cos 1()sin (t a y t t a x -=-=

1.2 极限

1.2.1 极限概念引例

例1 自由落体的瞬时速度

初速度为零的自由落体在t 时刻的下落距离为2

2

1)(gt t h h =

=g 为重力加速度。

这是一个非均匀运动，落体在不同时刻运动的快慢不同，如何刻画落体在某一时刻0t 的“速度”呢？

先研究落体从0t 时刻到t 时刻这一时间间隔上的平均速度

)(2

12121)()()(002

200t t g t t gt gt t t t h t h t v +=--=--= 显然，当t 越接近0t 平均速度)(t v 就越接近0t 时刻的“速度”，而这个“速度”是客观存在的，我们称其为自由落体在0t 时刻的瞬时速度。从上式不难看出这个这个自由落体在0t 时刻的瞬时速度为0gt 。 例2 求由抛物线2

x y =、x 轴与直线1=x 所围成的曲边三角形（图1－11）的面积。

先把区间]

1,0[n 等分，分点是

⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,1,

,3

,2,1,0n n n

n n 。再以每个小区间（长度都是n

1

）为宽作出n 个小矩形，小矩形的高分别为是2

22

2

1,,3,2,1,0⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛n n n n n 。这样就得到如图1－11中阴影所示的n 级阶梯形，它的面积

图1－11

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⋅=-++++=⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n n n n S n 2111131)12)(1(61

1])1(321[111131************

2

2

2

2