线代习题答案(4)
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习题四
1. 用消元法解下列方程组.
(1) 1234124
12341
23442362242322312338;x x x x ,
x x x ,
x x x x ,
x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231
232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
【解】(1)
41
22132
23
1
23(1)1
423614
2362
20421102
1()32231322311
2
3
3
8123
381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥=−−→−−−→⎢⎥
⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
-⎡⎤⎢⎥---⎢
⎥−−−−→⎢⎥---⎢
⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥
---⎢
⎥--⎣⎦A b 3243
42
433241
4236012920042610
01126142361
4
2360129201292,0011260011260
042610
07425r r r r r r r +↔++-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
-⎣⎦⎣⎦
得
1234234
3444236 292 126 7425
x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨
+=⎪⎪=⎩ 所以
1
234187,74
211,74
144,7425.
74x x x x ⎧=-⎪⎪
⎪=⎪⎨
⎪=⎪⎪⎪=⎩
(2)
解②-①×2得 23③-① 得
2x 3=4 得同解方程组
由⑥得 x 3=2,
由⑤得 x 2=2x 3=4,
由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.
(1) 1231231
23 320 5 03580;
x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ (2)
1234
123412341234
5 0 2303 8 0 3970;
x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨
-++=⎪⎪+-+=⎩
(3) 1234512341
234 22702345 03568 0;
x x x x x ,
x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩ (4)
12345123451
2345 222 0 2 320247 0.
x x x x x ,
x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪
+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)
1231231
23320503580.
x x x ,
x x x ,x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A
得同解方程组
1
323123232333723,2
3201,202,x x x x x x x x x x x x x ⎧
=--=-⎪++=⎪
⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎪
=⎩
得基础解系为
T
7
112
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
. (2) 系数矩阵为
32213142
413211511151112302743181027413970414811510274() 2.00000000r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
A A
∴ 其基础解系含有4()2R -=A 个解向量.
13421234343423433443
312
25077222227400110x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-=-⎧⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⇒==+⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
基础解系为
31272,.20110⎡⎤
-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
(3)