二面角及其平面角 课件

二面角
a 或 AB
2. 二面角的平面角的作法
1. 定义法
A
l
O
B
2. 垂线法
D'
C'
A'
B'
D
C
A
OB
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
想一想:怎样求二面角?
三、二面角的平面角
1.定义 在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O
为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l
的射线OA、OB，则射线OA、OB组成∠AOB叫做
二面角-l- 的平面角．
A
l
O
B
注: （1）在表示二面角的平面角时，要求
O l,OA ,OB ,OA l,OB l
二面角及其平面角
一、半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每
一部分都叫做半平面．
二、二面角
半
半
平
平
面
面
1.定义 从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二面角， l
这条直线叫做二面角的棱，每个
半平面叫做二面角的面．
2. 记法
棱为AB，面分别为，的二面角 记作二面角-AB-. 如果棱为l，那么 这个二面角也可以记作二面角-l- .
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D
C
A
OB
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角C'-BD-C
的正切值.
解：连接AC交BD于点O,连接OC ', 则O为BD的中点，且 AC BD,
D' A'
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
二面角的大小可以用它的平面角来度量.即二面 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平 面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面 角P－AB－Q。
如右图，在三棱锥A-BCD中，面 ABC与面BCD所成的二面角可以记 作二面角A-BC-D.
3. 画法
⑴ 平卧式：
l
A
B
A
l
B
⑵ 直立式： A
l
B
1.二面角指的是（ B ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
C' B'
正方体中 BC' DC ', OC' BD
又OC'OC O
D
C
C'OC为二面角C'BD C的平面角，A
OB
C'C 平面ABCD,OC 平面ABCD, C'C OC
设正方体的棱长为1， 则AC 2,OC 2 ，
tan C'OC C'C 1 2
2
OC 2
2 二面角C'BD C的正切值为 2
2
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；
附:角与二面角之间的关系
角
二面角
从平面内一点出
定义 发的两条射线所
组成wenku.baidu.com图形.
从空间一条直线出 发的两个半平面所
组成的图形.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法 AOB