9-2+二重积分的计算法

0
3
以上各例说明:
化二重积分为累次积分时选择积分次序的 重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程 度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至 有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序 却积不出来.
另外交换累次积分的次序：先由累次积分 找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交 换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
,r
sin
o
)rdr .

1 ( )

A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图（极点在D的边界上）
,
0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D

o

( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
第二节 二重积分的计算法
1. 利用直角坐标计算(续) 2. 利用极坐标计算 3. 小结、作业
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
解 画图. 所围立体在xoy 面上的投影 D 如图所示。
所求体积V ( x y xy)d
D

1
1 x
0 dx0 ( x

y

xy)dy

1
0 [ x(1

x)

1 (1 2

x)3 ]dx
7. 24
例12. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
例6. 改换
4
dx
0
x 1x
f
(x,
y)dy的积分顺序 .
2
解：写出D的表达式，D : 1 x y x, 0 x 4.
2
画 D 的图形 改为先对x再对y的积分
4
x
dx 0
Fra Baidu bibliotek1x
f (x, y)dy
2
2
2y
dy f (x, y)dx
0
y2
y
2
D
0
y1x 2
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤



2
(1
3
r2)2
1
3
0
2
3
另由几何意义：
D
1 x2 y2 d 1 (单位球体积 ) 2
2
3
例 14 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 ,
0 x 1}.
= x–y, 当y < x时,
y
y=x
1
D1
D
D2
0
1x
且区域D1: y x和D2: y < x分处在直线y=x的上，下方.
故，原式 = ( y x)d (x y)d
D1
D2
1
1
1
x
0 dxx ( y x)dy 0 dx0 (x y)dy


0
注意里层积分下限未必全为0
r (
A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
（极点在D的内部）
o
0 2, 0 r ( ).
r ( ) A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
x
32 a3( 2 )
3 23
练习
计算 I yd ,其中D为r 2(1 cos )的上半部分与
D
极轴所围成的区域。
解：心脏线方程，考虑用极坐标。
0 r 2(1 cos )
D:
0
故 I=
r2 sin drd

sin d
1
(
1
y2

1
xy)
dx

1
(xy

1
y2)
x
dx
02
x
0
20

1
(
1

x

1
x2 )dx

11 x2dx 1
02
2
02
3
y
y=x
1
D1
D
D2
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
例 11 求由下列曲面所围成的立体体积，
z x y，z xy， x y 1， x 0， y 0.
二、利用极坐标系计算二重积分
i

1 2 (ri

ri )2
i

1 2
ri
2
i

1 2 (2ri

ri
)ri


i
r ri ri r ri

ri

(ri 2
ri
) ri

i
ri ri i ,
o
i i
i
解 在极坐标系下
x r cos

y

r
sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
D


2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
sin cos
x2 y2 1 x y1
例15 计算
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
例13. 求 1 x2 y2 dxdy, 其中D：x2+y2 1.
D
解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则
x2+y2 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)

r
2
3
)2
R
cos
d
2
0
3 2
0

1
2
3
[R3 (R2 R2 cos2 )2 ]d
3
2

R3
2
[1 sin3 ]d
3 2
3
(注意(sin2 )2 | sin3 |)

2R3 2 (1 sin3 )d R3 ( 4)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
1 x2 y2 dxdy
D

2
d
1
1 r 2 cos2 r2 sin2 rdr
0
0

2
d
1
1 r 2 rdr
0
0
2 [ 1 1 1 r2 d (r2)] 20
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)

D
:
00

y x

R
R2

x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
30
33
例17. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
由对称性可知
2
z
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
D
i
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1()
r 2()
极点在区域之外
D
,

1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
D


d

2( ) f (r cos ,r sin )rdr.
1 ( )
区域特征如图
r 1( )
D
, 1( ) r 2( ).
r 2(
f (r cos ,r sin )rdrd

D
d
2 (
)
f
(r
cos
2(1cos ) r 2dr
0
0
D

32
3
关于二重积分计算的说明：
一、基本方法——化为累次积分（降维数）。 二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。
根据： (1) 积分域的形状（分块少，表达简便） 矩形、三角形、边界主要为直角坐标线——直角坐标； 扇形、圆域、圆环域边界主要为极坐标线——极坐标； (2) 被积函数的形式（各层积分中的原函数易求） 含 x2+y2 ——极坐标，一般先r后 的顺序 。 三、利用对称性、轮换对等性化简计算。 四、利用几何意义化简计算。 五、化为二次积分后，各层积分都有：上限>下限。
①画域，②选序，③定限
ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限 ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，——画好围成D的几条边界线，
若是X—型， 就先 y 后 x ; 若是Y—型， 就先 x 后 y .
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。
非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用上例的结果, 得

故①式成立 .
例16 计算 R2 x2 y2d , D : x2 y2 Rx
解
I


2
D
R cos
d

R2 r 2rdr 1 2
(R2
1
x
f ( x)dx f ( y)dy,
0
0
o
x
1
1
1
x
故2I f ( x)dx f ( y)dy f ( x)dx f ( y)dy
0
x
0
0
1
x
1
f ( x)dx[( ) f ( y)dy]
0
0
x

1
f ( x)dx
1
f
( y)dy

思考题
设 f ( x)在[0,1] 上连续，
1
f
( x)dx

A，
0
求
1
dx
1
f ( x) f ( y)dy.
0x
思考题解答 1 f ( y)dy不能直接积出,
x
y
令I
1
1
dx f ( x) f ( y)dy ,
0
x
1y
则原式 dy f ( x) f ( y)dx . 00
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
注: 利用此例可得到一个在概率论与数理统计及工程上
D
00
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| y x | d
其中D：0 x 1, 0 y 1
D
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x | y–x, 当y x时,
y x
4x
例 7 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解 画积分区域如图
原式
1
2 y

dy
0 1
1 y2
f ( x, y)dx.
y2 x y 2x x2
问：从积分域的形状看，此域上的积分应选什么样 的积分顺序？
A2 .
0
0
I 1 A2. 2
作业
习题9-2
4 (2)(4)；5; 6 (2), (4); 8；10； 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4).
例8 计算 ye xydxdy, D : x 1, x 2, y 2, xy 1
D
22
解 D是X—型区域 I dx yexydy
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
I dy yexydx dy yexydx
D
11
2
y