高等数学讲义(一)

高等数学基础

高等数学基础课程得学习内容微积分学,它就是创建于十七世纪得一门数学学科,创始人就是英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。用著名学者得话来形容“微积分、或者数学分析,就是人类思维得伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间得地位,使它成为高等教育得一种特别有效得工具”。“微积分得创立,与其说就是数学史上,不如说就是人类历史上得一件大事。时至今日,它对工程技术得重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。

第1讲 函数

1、2 函数

要知道什么就是函数,需要先了解几个相关得概念。 一、常量与变量 先瞧几个例子: 圆得面积公式

2πr S =

自由活体得下落距离

202

1gt t v s +

= 在上述讨论得问题中,g v ,,π0就是常量,t s r S ,,,就是变量。变量可以视为实属集合(不

止一个元素)。

二、函数得定义

定义1、1 设D 就是一个非空数集。如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一得一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上得一个函数,并把数x 与对应得数y 之间得对应关系记为

)(x f y =

并称x 为该函数得自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。

实数集合

},)(;{D x x f y y Z ∈==

称为函数f 得值域。

瞧瞧下面几个例子中哪些就是函数: }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y

f 就是函数,且

2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f

定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。 }6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 就是函数,且

2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f

定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。

f

f

f

}6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。

由函数定义可以得出,函数得对应规则与定义域就是确定函数得两个要素,用解析法表示得函数得对应规则就就是由表达式确定得,而定义域就就是使表达式有意义得所有x 轴上得点。

例1 求函数x y -=1得定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义,有

01≥-x

即

1≤x

所以函数得定义域为]1,(-∞。

例2 求函数2411

x x

y -+-=

得定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义,有

01≠-x 即

1≠x

在实数范围内要使第二个等式有意义,有

042≥-x 或 42≤x

即

2≤x 或 22≤≤-x

所以函数得定义域为]2,1()1,2[ -。

三、函数表示法

函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法

用数学式子表示变量之间得对应关系,这种表示函数得方法称为解析法。例如

2x y = x y sin =

⎩

⎨

⎧>-≤+=0,10

,1)(x x x x x f ⒉图形法

在平面直角坐标系中满足一定条件得曲线图形,也可以确定一个函数关系,这种表示函数得方法称为图形法。例如

表示一天内温度随时间变化得函数关系。

⒊列表法

在实际应用中把一系列自变量值及其相对应得函数值列成表,这种表示函数得方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。

四、函数得几种属性 ⒈单调性

请瞧下面两个

图

f

左边得图形表示,函数值随自变量得增加而增加,就称函数单调增加,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有

)()(21x f x f <

则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调上升得或单调增加得。

右边得图形表示,函数值随自变量得增加而减少,就称函数单调减少,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有

)()(21x f x f >

则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调下降得或单调减少得。

⒉奇偶性

请瞧下面两个图 左边得函数图形关于y 轴对称,就称函数就是偶函数,数学上描述为:如

果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式

)()(x f x f =-,则称)(x f 就是偶函

数。 右边得函数图形关于原点对称,就称函数就是奇函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f -=-,则称)(x f 就是奇函数。

例3 判断下列函数得奇偶性:

⑴x x f =)(; ⑵)1,1(11lg )(-∈+-=x x

x

x f

解 ⑴由绝对值得性质,对任意x 有

)()(x f x x x f ==-=-

由此可知)(x f 就是偶函数。

⑵由对数函数得性质,对任意)1,1(-∈x 有

1

)11lg(11lg )(1)(1lg

)(-+-=-+=-+--=-x x x x x x x f

)(11lg x f x

x

-=+--=

由此可知)(x f 就是奇函数。

判断函数得奇偶性也可以利用以下结论: 偶函数加减偶函数就是偶函数 奇函数加减奇函数就是奇函数 偶函数乘偶函数就是偶函数 奇函数乘奇函数就是偶函数 奇函数乘偶函数就是奇函数

例如,x x y sin +=就是奇函数,x x y cos =也就是奇函数。 1、3 初等函数

要了解初等函数,首先从以下开始