数学模型试题

数

学模型试题及答案

一．简答题

1、什么是数学模型？（5分）

答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 2、建立数学模型的方法有哪些？（5分）

答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。

二、.智力题 九宫图,请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3乘以3的正方形格子,使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15. 建模求解出这9个数字的填法 (1) 先证明填入中间格数字为5 (7分)

(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(建模只说明求解,不求具体解,8分) 解:

(1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,12,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x 多出现了

3次,列出方程 ( 4分)

1543)987654321(?=+++++++++x ( 2分)

解方程得 x=5, ( 1分) 中间格x 22为5

(2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9

而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法

由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为 第一组(3,4,8)预放入第1行,

第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程

?????

????=+=+=+=++=++6

10141515k c n b m a k n m c b a ( 5分) 解空间是1维,取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数 ( 3分) 三． 不允许缺贷的存贮模型,试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解(共15分) 解: 模型假设:

1. 产品每天需求量为常数r (2分)

2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 (2分)

3. 生产能力无限大 (2分) 模型建立

一周期总费用如下:

2

2

21rT C C C +=: (3分)

一周期平均费用为

2

)(21rT C T C T f +=

(2分)

模型求解:用微分法解得

周期

2

12rC C T = (2分)

贮存量

2

12C rC Q =

(2分)

四．建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球的初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为2，（与地面夹角），试建立投掷距离与α..h v 的关系，并求在h v .一定的条件下最佳的出手角度2。

解：如图建立坐标系，易得t 时刻铅球的位置),(y x p 满足如下方程。

?????

????=====ανcos 000022t t dt

dx

x dt x d ????

?

????==-===αsin 20022v dt y R y g dt y

d t t …………8分

解之得：t v x ?=αcos (1)

h t v gt y +?+-=αsin 2

1

2 …………（2） ……………10分

由（2）令0=g ，求得铅球的落地时间 t

代入（1）求得掷远为

ααααcos 2sin cos sin 2

1

2

222

v g h g v g v R ????

? ??++?= ……（3） ………13分

（3）又可表示为：)tan (cos 22

2

2

αα?+?=?R h v g R

令

0=αd dR 得出最佳出手角度)

(2sin 21gh v v

+=-*α …………15分

五．经济型捕鱼模型是 其中00

试求出平衡点,并判断平衡点稳定性 解:

解方程?

??=-=--0)1(0)1(1.02y x yx cx x 得到平衡点???-==c y x 1.01.01 （2分）

设右2元函数求偏导得

1,''-==x g y g y x （2分）

平衡点)1.01,1(c -时,系数矩阵?

??

?

??---=01.01.012.0c c

A （2分） 不难得出特征方程0,0,02

>>=++q p q p λλ （2分） 的两个特征根是实部是负数,其是稳定的,中心 （2分）

六、相对总目标C ，准则21,c c 的权重为T

w ]5.0,5.0[0=，

相对与准则1c ，方案321,,A A A 的判断距阵为???

?? ??=12/15/1212

/1521

A ， 相对与准则2c ，方案321,,A A A 的判断距阵为???

?

? ??=1535/113/13/131B ，

试用和法求方案321,,A A A 对总目标的权重。 答：

???

?? ??=12/15/1212/1521

A 中各列归一化

????

?

??8/17/117/28/27/217/58/57/417/10 各行求和 ???

?

?

??385.0830.0785.1再归一化

???

?? ??128.0277.0595.0=1w 6分 ???

?

? ??=13/15/1313/1531

B 中各列归一化

????

? ??9/113/123/39/313/323/59/513/923/15 各行求和 ???

?

?

??318.0782.09.1 再归一化

????

?

??106.0261.0633.0=2w 6分 所以三个方案321,,A A A 对总目标的权重为：

[]??

??

?

?????=??????????==117.0269.0614.05.05.0106.0128.0261.0277.0633.0595.0),(021T

w w w W 3分 七、理事会有5个常任理事和10个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少4个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。（10分）

解：设

{}1,2,5,6,15I =，其中5,2,1 =i 表示常任理事，15,7,6 =i 表示非常任理

事，特征函数定义为：

1)(=s v ，当{

}{}{}{})15,7,6(),5,4,3,2,1( =S 中任意k 个元素的集合，)10,2,1( =k 时，`0)(=s v ，当

S 为I 的其它子集时，特征函数取1的子集共有k

C 10

个，且每个的()()()[]()10,4!

15!515!15?=?+--+=

，

k k k s W

而()002.0196.05110

1

≈?-≈

i

? 15,7,6 =i ∴常任理事在投票中所占的权重为0.196，而非常任理事在投票中所占的权重为：0.002。

八、设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额就发生了如下变化。

甲公司保持其顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙。 乙公司保持其顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙。 丙公司保持其顾客的60%，丧失20%给甲，丧失20%给乙

假设顾客的购买倾向与第二年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额？若依此发展下去，市场如何分配？

解：状态定义为)(3),(2),(1丙乙甲===i i i

则容易得到转移概率矩阵，????

? ??=6.020.02.009.01.015.005.08.0p

以))(),(),(()(321n a n a n a n =α表示第n 年三公司所占市场份额

则：

),2,1,0()()1( =?=+n p

n n αα (1)

又已知：)3

1,31,31

()0(=α

当∞→n 时，三公司的市场占有率设为),,(321w w w w =

则有：1321=++=?w w w w

p w

由此解得==),,(321w w w w