高数映射与函数

若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
人
学生
大学生
河南大学学生
河南大学软件学院学生
数集的补充规定：
M ：* M 中排除 0 的集
M +： M 中排除 0 和负数的集
常用数集: N----自然数集 Q----有理数集
• 直积: A B (x , y) x A, y B
记
特例: R R
R2
A
为平面上的全体点集。
2、集合的并、交、补运算满足下列法则：
交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）， （A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；
分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）， （A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）；
（2）无限区间： [a,) {x a x}
(,b) {x x b} R (,)
区间长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
注：以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及 是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单的称它 为“区间”，且常用 I 表示.
4.邻域:设a与是两个实数 , 且 0.
第一章 函数与极限
函数 — 研究对象 数学分析基础 极限 — 研究方法
连续 — 研究桥梁
第一节 一、基本概念
映射与函数
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an } 有限集
M {P P所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
a的左邻域(a , a)
a的右邻域(a, a )
矩形区域 : [a, b] [c, d ] ( x, y) x [a, b], y [c, d ]
三、映射
1. 映射的概念 定义：设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得
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对X中的每个元素x，按法则 f ,在Y中有唯一确定的 元素y与之对应，则称 f 为从X到Y的映射。记作
四、函数的概念
1. 函数的定义 : 设数集D R，则称映射 f : D R 为定义在D上的函数，通常简记为：y f (x), x D
y f (x)
因变量
自变量
数集D叫做这个函数的定义域
函数值全体组成的数集{ y y f ( x), x D} 称为函数的值域. 记 作 ：R f，f (D)
对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC， （A∩B）C＝AC∪BC；
3.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
（1）有限区间： a, b R,且a b.
{ x a x b} (a, b) {x a x b} [a,b]
{ x a x b} [a, b) {x a x b} (a,b]
常量数学 变量数学 随机数学 模糊数学离散数学
• 数学有何用
纳什的美丽心灵（1928-2015） －美人－纳什均衡概念－博弈论－精神分裂症－诺贝尔奖经济 学奖
高考成绩 750---650---550---500分
生命函数图形
二、学习高等数学的重要意义
1. 后继课程的需要 （概率，数字逻辑，离散数学，算法， 几乎所有的计算机专业课，建立数学模型）
点a的邻域U (a )：以点a为中心的任何开区间.
点a的邻域U(a, )：开区间(a , a ).
即 U(a, ) {x a x a } {x x a },
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
a
a
a x
点a的去心的邻域U(a, ) {x 0 x a }.
f : X Y.
X
Y
x
f
y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
注意：
1、构成映射必备的三要素： ① 定义域 Df = X；
② 值域范围 Df Y;
③ 对应法则 f 是对每个x∈X，有唯一确定
的y = f (x)与之对应。 2、 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不 一定唯一 .
二、集合的运算
A B
1、基本运算：
B
• 并集：由所有属于A或者属于B的元素组成
A
的 集合，记作A∪B。 • 交集：由即属于A又属于B的元素组成的
A\B AB
集合，记作A∩B。
B
• 差集：所有属于A而不属于B的元素组成的
ABAc
集合，记作A\B
• 补集：称集合I为全集，称I\A为A的余集或
补集。
B AB
高等数 学
------同济六版上册
王冬 15039008228
前言:
一、数学、初等数学、高等数学
1. 数学：研究“数” 和 “形”的科学
2. 初等数学： 17世纪以前的数学。研究的“数”是 常数或常量；研究的“形”是孤立的，不变的，规则 的几何形体。(又称为常量数学)
3. 高等数学： 17世纪以后的数学。研究的“数”是 变数或变量；研究的“形”是连续的，变化的，不规 则的几何形体。（又称为变量数学）
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
直积（笛卡尔乘积）：
A B ( x, y) x A且y B
R R ( x, y) x R且y R ， 记作：R2
2. 继续深造的需要
3. 解决实际问题的需要 （电脑游戏-3D数学模型）
三、怎样学习高等数学
1. 多动手(练习) 2. 多动脑(思考) 3. 多用眼(见多识广)
1.重视每一节课.
四、具体要求：
2.独立完成作业
五、参考书:
1. 《微积分》同济大学编 高等教育出版社 2. 《高等数学辅导》陈文灯主编
2.说明： (1)函数的两要素: 定义域与对应法则.
当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这 两个函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无 关. 即 y f ( x), u f (v), s f (t)等均表示同一函数.
(2) 记号 f 与 f ( x) 的区别