常系数非齐次线性微分方程(基础资料)

第八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
苍松优选
1
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y* , 常见类型 f ( x) Pm ( x)ex ,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
苍松优选
16
例8. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
3a 1
3b 4c 0
3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.
3
9
苍松优选
13
例5 求方程 y 2 y 5 y e x sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
1 2i 是单根,
故 y* xe x (a cos 2x b sin 2x),
代入上式 e x[4b cos 2x (4a)sin 2x] e x sin 2x
b 0, a 1 ,
4
所求非齐方程特解为
y*
1
xe x
cos 2x,
4
原方程通解为
y
e
x
(C1
cos
2x
C2 sin
苍松优选
e i x
eix 2
Pn
e i x
eix 2i
]
( Pl Pn )e(i)x ( Pl Pn )e(i)x
2 2i
2 2i
P( x)e(i) x P( x)e(i) x ,
设 y py qy P( x)e(i) x , y1* xkQme(i)x ,
苍松优选
11
设 y py qy P( x)e(i) x , y1* xkQme(i)x ,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x( 1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2 y C1e x
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
y* xk e x [Qmeix Qmeix ]
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
0 i不是根 k 1 i是单根,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
苍松优选
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
(
x
),
Hale Waihona Puke Baidu
y* x2Qm ( x)ex .
综上讨论
0 不是根
设
y*
xkexQm ( x)
,k
1 2
是单根, 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
苍松优选
4
特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
ex
,
不是特征方程的根
y*
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
.
苍松优选
7
例３ 求方程 2 y 5 y 5x2 2 1的通解.
苍松优选
8
例.
求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为
y C1 C2ex C3e2 x
f ( x) ex[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x]
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
苍松优选
2
一、 f ( x) ex Pm ( x)型
y py qy f ( x)
设非齐方程特解为 y* Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
12
例4 求方程 y y x cos 2x 的一个特解.
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex ; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
xQm ( x), y* 苍松优选
xQm ( x)ex ;
3
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
A x2ex
2
是特征方程的重根
苍松优选
5
例1.求方程
的一个特解
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
苍松优选
6
例２ 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
2x)
1 4
xe
x
cos
2x.
14
例6 求方程 y y e x cos x 的通解.
苍松优选
15
例7 求方程 y y tan x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
由初始条件得
C2
2C3
1 2
苍松优选
9
解得
CC21
1
3 4
C3
1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
苍松优选
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二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式
e x [ Pl