3.1 矩形谐振腔解析

k
2
0

0
c
(3-3)
一、谐振频率0
进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即
l p
( p 1,2,3,)
则有
0
1 1 1 0 g
2 2
(3-4)

1 1 p 2l c
3.1 矩形谐振腔
Rectangular Resonator
如果说微波传输线充当低频的R、L、C部件， 那么微波谐振腔相当于低频振荡电路。这是振荡器、 滤波器和耦合器应用中所必须涉及的。
选 谐振腔 滤 频 波 波长计 介质抽量
灵敏测量
图 3-1 谐振腔应用
第31章
矩形谐振腔
Rectangular Resonator
(3-21)
由于复频率的引入,使我们可以采用复变函数的理 论工具研究谐振腔。
2
(31-1)
一、谐振频率0
理 想 腔 耦 合 腔 非 理 想 腔 G 介 质
C
G o
L
G o L C
C L G o
G

Q
G 0
图 3-2 谐振腔研究的思路框图
一、谐振频率0
但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优 势方向:即。从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向 假定是行波。
传 输 线
Q0
0
Rs |H |V源自S| H |2 dv
2
ds | H |
2
V S
| H |2 dv

2
ds
(3-9)
二、品质因数Q0
其中集肤深度
0
。作估值公式，令 2
1 | H|2 ~ | H |2 2
1V Q0 S
(3-10)
可以知道， 小、V/S大，是Q0 大的先决条件。理 想腔的品质因数也称为固有品质因数 Q0(或无载Q值)。
Q无量纲,只与媒质、腔体几何形状和波型有关。事 实上可以有很多损耗源，例如
PL PLi
i 1 n
(3-11)
二、品质因数Q0
于是也可以定义各种损耗因素所对应的Q
n n PLi 1 1 Q i1 0W i1 Qi
(3-12)
其中， Qi=0W/PLi 对应第 i 个损耗源的 Q 值。除了导 ~ ' j" 电壁的Q值以外，最普遍的是介质 对应的Qd。 这时储能和损耗功率分别是
dt
dW PL dt
0W
Q
另外，根据式(31-17)，导出
(3-18) (3-19)
dW 2 0Wdt
比较(31-18)和(31-19)很清楚
二、品质因数Q0
1 2Q
(3-20)
这样，引入复频率，可以把谐振频率和值包含 在一个公式之中
1 ~ 0 1 j 2Q
谐振腔中谐振频率 0 (或f0)和谐振波长0是最基本 参数，但是要注意0 是不变量，而 0则与媒质r0 有 关。
在一个封闭系统中，电能与磁能相等称之为谐振。 谐 振 腔 的 规 律 同 样 服 从 Maxwell 方 程 组 ， 可 导 出 Helmholtz方程。
2 Ek E0
二、品质因数Q0
2 1 W We Wm | H| dv 2 v
(3-7)
而导体壁损耗
1 1 2 PL | J s | Rs ds Rs | H |2 ds S 2 S 2
(3-8)
式中Rs是表面电阻率， 有限电导率所对应的谐振腔Q值
Rs
0 , H 为切向磁场。因此， 2
一、谐振频率0
可见,谐振腔在三个方向都是纯驻波，而传输线kc是 二维谐振。
传输线—二维 kc 传输腔—三维 k
图 3-3 二维谐振和三维谐振
一、谐振频率0
从这个意义上看谐振频率 0是问题的本征值，而 对应的场分布则是本征矢量 。E 2 2 2 2 l E kc E 0 E k E 0 (3-2) L l E l E L E E 所以我们可以进一步深入地用本征值问题加以讨论。 在填充空气的条件下
2 1 W E dV 2 V PL 1 0 E 2 dV 2 V
(3-13)
二、品质因数Q0
于是
Qd
0W
PL
1 tg
(3-14)
可见,均匀分布的介质Q值(31-14)是一个普适的公 式，它与波型无关。现在，我们进一步引进复频 ~ 率 ，令
讨论谐振腔的主要指标是谐振频率 0 、品质因数 Q 和电导G。谐振腔的讨论思路是:理想腔—耦合腔—非 理想腔，如图(31-2)所示。 在研究谐振频率f0时，采用不计及腔损耗，即腔壁 由理想导体构成。但是，当研究Q时,则必须考虑损耗 的因素。 耦合腔和实际腔反映了谐振腔的具体应用。
一、谐振频率0
~ 1 j 0
于是内部场可写成
j j t t ~t E Eme Eme e
0 0 0
(3-15)
(3-16)
二、品质因数Q0
~ 复频率 相当于场衰减。于是能量可写成
W Wme2 t 损耗功率 PL dW ，于是 dt
0
(3-17)
2 2
(3-5)
二、品质因数Q0
品质因数又称Q值，它反映谐振腔储能与损耗之间 的关系。 W 0W Q0 2 (3-6) Wr PL
W 表示谐振腔的平均储能， WT 表示一个周期 T 内 谐振腔的能量损耗。 WT=TPL，PL 表示一个周期内平 均损耗功率。式(31-6)对于低频和高频均适用的。 平均储能在谐振时有一特点，即腔内所储的电能等 于所储的磁能。
y
谐 振 腔
y -z
-z
0
x
x 0
d 2E 2 kx E0 2 dx d 2E 2 ky E0 2 dy d 2E 2E 0 2 dz 2 2 kx ky k z2 k 2 k z2 2
d 2E k x2 E 0 2 dx d 2E 2 ky E0 2 dy d 2E k x2 E 0 2 dz 2 2 k k x2 k y k z2