概率论初步知识介绍
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❖ 解决这些不确定性问题的最有效的方法是建立概率这一概 念基础上的。
❖ 概率是某事件将会发生的可能性的一种数量测度。因此概 率可以用来测量上述4个事件不确定性的程度。
❖ 概率的特点
事件发生可能性递增
概率
0.5
1.0
事件是否发生的可能性均等
第二节 概率的定义
❖ 古典概率的定义 ❖ 概率的统计定义 ❖ 主观概率的定义
工期超过十个月的概率是多少？
统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有 些实验或不可能重复进行（如社会经济现象、政治 变革等。如俄国革命、文革）或代价太昂贵等，因 此就以有理智和经验丰富的专家对某一事件进行的 主观判断作为其发生的概率。
分配概率的基本要求
▪ 每种试验结果分配到的概率在0和1之间 ▪ 所有试验结果的概率之和必须等于1。
第三讲 概率知识回顾
第一章 概率论初步
第一节 基础概念
❖ 随机试验和随机事件 ❖ 样本空间 ❖ 事件的关系 ❖ 计数法则
一、概率基本概念
1、随机试验
在讨论概率时，我们定义试验为产生结果的任何过程。
随机试验是指从某一研究目的出发，对随机现象进行观察均称 为。
试验
试验结果
抛硬币
正面，反面
抽取一个零件检查
三、事件的关系与概率
1、必然事件和不可能事件
必然事件是指在每一次试验中必然出现的结果。最常见的 必然事件是样本空间S；不可能事件是指在每一次试验中 不可能出现的结果。
2、事件包含
若A发生 B发生，则事件A含于事件B,或事件B包含事 件A。记为A B。
3、事件等
若AB且B A，则A和B相等，记作A=B。
合格，不合格
踢足球
赢，输，平局
一、概率基本概念
2、随机试验必须满足的三个条件
（1）试验可以在相同的条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的。并且不止一 个； （3）每次试验总只出现这些可能结果中的一个，试验 之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
3、随机事件
随机试验中可能出现或可能不出现的事件称为随机事件。
三、事件的关系
4、事件和(并)
若事件A与B至少有一个发生这一事件，称为A与B的和 (并)。记作A∪B若A、B互斥，则记为A+B。
5、事件积(交)
事件A与B同时发生这一事件，称为A与B的交。记作 A∩B或AB。
6、事件差
事件A发生而B不发生这一事件称为A与B之差。记作A-B 或AB 。
三、事件的关系
例如：一张红颜色的扑克牌 一张红色A.
二、计数法则
1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步骤，第一 步有n1个可能结果，第二步有n2个可能结果，如此等等，试验 结果的总数就是（n1)(n2)….(nk)
例如：连续抛掷两枚硬币，结果为：
正
（正，正）
正
反
（正，反）
正
（反，正）
反
反
（反，反）
例：进度控制中的树形图
肯塔基电力公司（KP&P）进度树形图 （2，6）
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
一、概率基本概念
4、样本空间
试验所有可能的结果所组成的集合，称为样本空间， 常用S表示。若样本空间有k个可能结果组成，则可记为 S={w1,w2,…wk}。
5、样本点
随机试验的每一个可能结果。可用只包含一个元素w的 单点集{w} 表示，称为样本点。
一、基本概念
6、基本事件、基本事件组、复合事件
✓随机事件的每一个可能结果称为基本事件（不可再分）； ✓所有基本事件的全体称为基本事件组； ✓若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1
第三节 概率的基本运算法则
❖ 概率的加法定理 ❖ 概率的乘法定理
一、概率的加法定理
1、互斥事件的加法定理
若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B) 一般，若A1,A2,…,An中任取两两事件均互不相容，则有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) [例] 100件产品中有70件一等品，25件二等品，5件废品。 问任抽1件产品是h合格品的概率是多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)=70/100+25/100=0.95 KP&P公司案例：十个月完工的概率是多少？
n!
= ( n r )!
▪ 组合计数法则 不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合， 组合方法有
C n r= (ｎ ｒ )=r!(n n !r)!
组合计数法则的特征是不考虑抽样排序 例如：质量检查人员从5个零件中随机抽取两个进行 检验，共有多少种抽法。
ABCDE
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE
一、古典概率的定义
一项试验，Fra Baidu bibliotek果只有有限种试验结果n，并且 每一种试验出现的可能性相同，而事件A是由 其中的m个结果所组成，那么就说事件A出现 的概率是m/n,记为： P(A)=m/n
各种试验结果发生的可能性均相 等
二、概率的统计定义（试验概率）
对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用
通过大量观察或重复实验的方法求出事件的频率，再 根据频率随实验次数变化的趋势来确定概率的方法， 就是概率的统计定义。
例：KP&P公司40项工程资料
样本点
（2，6） （2，7） （2，8） （3，6） （3，7） （3，8） （4，6） （4，7） （4，8）
工程项目 6 6 2 4 8 2 2 4 6
样本点概率 0.15 0.15 0.05 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15
三、主观概率的定义
❖ 概率是某事件将会发生的可能性的一种数量测度。因此概 率可以用来测量上述4个事件不确定性的程度。
❖ 概率的特点
事件发生可能性递增
概率
0.5
1.0
事件是否发生的可能性均等
第二节 概率的定义
❖ 古典概率的定义 ❖ 概率的统计定义 ❖ 主观概率的定义
工期超过十个月的概率是多少？
统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有 些实验或不可能重复进行（如社会经济现象、政治 变革等。如俄国革命、文革）或代价太昂贵等，因 此就以有理智和经验丰富的专家对某一事件进行的 主观判断作为其发生的概率。
分配概率的基本要求
▪ 每种试验结果分配到的概率在0和1之间 ▪ 所有试验结果的概率之和必须等于1。
第三讲 概率知识回顾
第一章 概率论初步
第一节 基础概念
❖ 随机试验和随机事件 ❖ 样本空间 ❖ 事件的关系 ❖ 计数法则
一、概率基本概念
1、随机试验
在讨论概率时，我们定义试验为产生结果的任何过程。
随机试验是指从某一研究目的出发，对随机现象进行观察均称 为。
试验
试验结果
抛硬币
正面，反面
抽取一个零件检查
三、事件的关系与概率
1、必然事件和不可能事件
必然事件是指在每一次试验中必然出现的结果。最常见的 必然事件是样本空间S；不可能事件是指在每一次试验中 不可能出现的结果。
2、事件包含
若A发生 B发生，则事件A含于事件B,或事件B包含事 件A。记为A B。
3、事件等
若AB且B A，则A和B相等，记作A=B。
合格，不合格
踢足球
赢，输，平局
一、概率基本概念
2、随机试验必须满足的三个条件
（1）试验可以在相同的条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的。并且不止一 个； （3）每次试验总只出现这些可能结果中的一个，试验 之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
3、随机事件
随机试验中可能出现或可能不出现的事件称为随机事件。
三、事件的关系
4、事件和(并)
若事件A与B至少有一个发生这一事件，称为A与B的和 (并)。记作A∪B若A、B互斥，则记为A+B。
5、事件积(交)
事件A与B同时发生这一事件，称为A与B的交。记作 A∩B或AB。
6、事件差
事件A发生而B不发生这一事件称为A与B之差。记作A-B 或AB 。
三、事件的关系
例如：一张红颜色的扑克牌 一张红色A.
二、计数法则
1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步骤，第一 步有n1个可能结果，第二步有n2个可能结果，如此等等，试验 结果的总数就是（n1)(n2)….(nk)
例如：连续抛掷两枚硬币，结果为：
正
（正，正）
正
反
（正，反）
正
（反，正）
反
反
（反，反）
例：进度控制中的树形图
肯塔基电力公司（KP&P）进度树形图 （2，6）
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
一、概率基本概念
4、样本空间
试验所有可能的结果所组成的集合，称为样本空间， 常用S表示。若样本空间有k个可能结果组成，则可记为 S={w1,w2,…wk}。
5、样本点
随机试验的每一个可能结果。可用只包含一个元素w的 单点集{w} 表示，称为样本点。
一、基本概念
6、基本事件、基本事件组、复合事件
✓随机事件的每一个可能结果称为基本事件（不可再分）； ✓所有基本事件的全体称为基本事件组； ✓若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1
第三节 概率的基本运算法则
❖ 概率的加法定理 ❖ 概率的乘法定理
一、概率的加法定理
1、互斥事件的加法定理
若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B) 一般，若A1,A2,…,An中任取两两事件均互不相容，则有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) [例] 100件产品中有70件一等品，25件二等品，5件废品。 问任抽1件产品是h合格品的概率是多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)=70/100+25/100=0.95 KP&P公司案例：十个月完工的概率是多少？
n!
= ( n r )!
▪ 组合计数法则 不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合， 组合方法有
C n r= (ｎ ｒ )=r!(n n !r)!
组合计数法则的特征是不考虑抽样排序 例如：质量检查人员从5个零件中随机抽取两个进行 检验，共有多少种抽法。
ABCDE
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE
一、古典概率的定义
一项试验，Fra Baidu bibliotek果只有有限种试验结果n，并且 每一种试验出现的可能性相同，而事件A是由 其中的m个结果所组成，那么就说事件A出现 的概率是m/n,记为： P(A)=m/n
各种试验结果发生的可能性均相 等
二、概率的统计定义（试验概率）
对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用
通过大量观察或重复实验的方法求出事件的频率，再 根据频率随实验次数变化的趋势来确定概率的方法， 就是概率的统计定义。
例：KP&P公司40项工程资料
样本点
（2，6） （2，7） （2，8） （3，6） （3，7） （3，8） （4，6） （4，7） （4，8）
工程项目 6 6 2 4 8 2 2 4 6
样本点概率 0.15 0.15 0.05 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15
三、主观概率的定义