2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练文含解析北师大版

第八章 平面解析几何

第七节 双曲线 课时规范练 A 组——基础对点练

1．双曲线x 2

36－m 2－y 2

m

2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )

A ．6

B ．12

C ．36

D.236－2m 2

解析：c 2

＝36－m 2

＋m 2

＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B

2．双曲线8kx 2

－ky 2

＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.

653

D.－

63

解析：kx 2

－ky 2

8

＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.

答案：B

3．(2020·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支

上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.23 B ．1 C ．2

D.4

解析：由双曲线x 225－y 2

9＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO |

＝1

2|MF 1|＝4. 答案：D

4．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 2

3＝1有相同的渐近线的双曲线的

方程是( ) A ．x 2

－y 2

3＝1

B ．y 2

－x 2

3＝1

C ．x 2

－y 2

＝2

D.y 2

－x 2

＝2

解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D

5．双曲线y 29－x 2

4＝1的渐近线方程是( )

A ．y ＝±9

4x

B ．y ＝±4

9x

C ．y ＝±3

2

x

D.y ＝±2

3

x

解析：双曲线y 29－x 2

4＝1中，a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±3

2x .

答案：C

6．(2020·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为

双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( ) A ．3 B ．2 C.53

D.54

解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|

－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝c a ＝5

4

.

答案：D

7．(2020·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线

依次与双曲线C 的左、右支交于点P 、Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．1＋ 3 C ．2＋ 3

D.4＋2 3

解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝

|F 1F ||QF 1|－|QF |＝2

3－1＝3＋1.

答案：B

8．若a >1，则双曲线x 2a

2－y 2

＝1的离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D.(1，2)

解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝

1＋1

a

2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C.

答案：C

9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4

，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为

________．

解析：因为e ＝c a ＝54

，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2

＝9，所以双曲线C 的标准方程

为x 216－y 2

9＝1. 答案：x 216－y 2

9

＝1

10．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝1

2x ，则该双曲线的标准方程为

________．

解析：设双曲线方程为：mx 2

＋ny 2

＝1(mn ＜0)， 由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧8m ＋n ＝1， －m n ＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，

n ＝－1.

则双曲线的标准方程为x 2

4－y 2

＝1.

答案：x 2

4

－y 2

＝1

B 组——素养提升练

11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4

D.8

解析：抛物线y 2

＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2

－y 2

＝

a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.

答案：C

12．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1，5)

B ．(1，5]

C ．(5，＋∞)

D.[5，＋∞)

解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a

x ， 则由题意得b a

>2，