导数及其应用PPT教材课件
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增函数，所以a 0符合题意． 2 ②当a 0时，f x 3ax( x )． a 2 令f x 0，得x1 0，x2 . a 当a 0时，对任意x 1,0 ，f x 0， 所以a 0符合题意； 当a 0时，当x (，时， 0) f x 0， 所以 1，所以 2 a 0符合题意． 综上所述，a 2.
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
2
分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．
源自文库
【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
x 0处取得最大值，求正数a的取值范围．
分析 : 首先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
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分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．
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【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
x 0处取得最大值，求正数a的取值范围．
分析 : 首先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．