2016高考数学理科二轮复习课件：专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明

2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产 品 1 桶需耗 A 原料 1 千克， B 原料 2 千克； 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克．每桶甲产品的利 润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产 这两种产品的计划中， 要求每天消耗 A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙 两种产品中，公司共可获得的最大利润是(C) A．1 800 元 B．2 400 元 C．2 800 元 D．3 100 元
3．为了保护环境，实现城市绿化．某房地产公司要 在拆迁地长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造公 园，公园一边落在 CD 上，但不得越过文物保护区△AEF 的 EF，问如何设计才能使公园占地面积最大？并求这个 最大面积(其中 AB＝200 m，BC＝160 m，AE＝60 m，AF ＝40 m)．
百度文库
4． 线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何意 义是与直线的截距符号相同还是相反． 5．作差法的依据是 a＞b⇔a－b＞0，证明中常用到 配方法、分解因式、均值不等式等方法；作商法的依据 a ＋ 是 a，b∈R ，a＞b⇔ ＞1，适用于指数、幂的形式． b
例 2 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A，B 两类产 品，甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件， 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件．已 知设备甲每天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元， 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件， B 类产品 140 件，所需租赁费最少为________元．
随堂讲义
专题四 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
预测2016年高考中一定有线性规划小题，利用不等 式性质与基本不等式的小题一般也会考到，且基本不等 式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现在常用 导数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求 最值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中 可能性很大．
2x＋y＝12， x＝ 4， 解方程组 得 即 x＋ 2y＝12， y＝4，
A(4，4)．
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800.
例 3 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部 是边长分别为 x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为 x 的等 腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 平方米． (1)求 y 与 x 的解析式，并求 x 的取值范围； (2)x，y 分别为多少时用料最省？ 思路点拨： 先根据题意找出数量关系， 再由基本不等式求 最值．
(2)解法一 ∵a＞b＞0 且 ab＝1， ∴a＞1，0＜b＜1.∴a＞ab＞b＞0， 2 2 2 又 0＜c＝ ＝ ＜ ＝1， 1 a＋b 1 a＋ 2 a· a a ∴y＝logcx 在(0，＋∞)为减函数，∴p＜m＜n. 解法二(特殊值法) ∵a＞b＞0 且 ab＝1， 1 2 4 ∴取 a＝2，b＝ .∴c＝ ＝ ＜1， 2 a＋b 5 1 4 4 4 p＝log 2＜0，m＝log 1＝0，n＝log ＞0，∴p＜m＜n. 5 5 52 答案：(1)C (2)p＜m＜n
思路点拨： (1)可以根据 a－|b|＞0 去掉绝对值号得到 a 与 b 的大小关系，从而作出判断，亦可以在 a，b∈R 的前 提下取满足 a－|b|＞0 的特殊实数 a，b 验证． (2)可以由已知先得到 a，b，ab 三者的大小关系，再 判定 c 与 1 的大小关系，最后利用对数函数的单调性比较 大小．亦可以用特殊值法比较．
解析：设甲种设备需要生产 x 天， 乙种设备需要生产 y 天， 该公司所需租赁费为 z 元，则 z＝200x＋300y，甲、乙 两种设备生产 A，B 两类产品的情况如下表所示： 产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品/ B 类产品/ 租赁费/元 件 件 5 6 10 20 200 300
x＋6y≥10， 5x＋6y≥50， 5 则满足的关系为10x＋20y≥140，即x＋ 2y≥14， x≥0，y≥0， x≥0，y≥0. 作出不等式表示的平面区域， 当 z＝200x＋300y 对应的直 6 线过两直线 x＋ y＝10，x＋2y＝14 的交点(4，5)时，目标函数 5 z＝200x＋300y 取得最小值，为 2 300 元． 答案：2 300
例 1 (1)设 a，b∈R，若 a－|b|＞0，则下列不等式中 正确的是( ) A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0 2 (2)已知 a＞b＞0，且 ab＝1，设 c＝ ，p＝logca，m a＋b ＝logc(ab)，n＝logcb，则 m，n，p 的大小关系是________．
16 2x＝ ，即 x
x＝8－4 2，y＝2 2时，等号
成立.0<x＝8－4 2<4 2，满足题意． 即：当 x＝(8－4 2)米，y＝2 2米时，用料最少．
本题考查利用基本不等式解决实际问题， 是面积固 定求周长最省料的模型， 解题时， 列出一个面积的等式， 代入周长所表示的代数式中， 消去一个末知数， 这是常 用的解题方法．
误区警示：本题易由于画图不准，而将顶点确定错．
(1)线性规划问题一般有三种题型： 一是求最值；二是求 区域面积； 三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范 围． (2)解决线性规划问题首先要找到可行域， 再注意目标函 数所表示的几何意义， 数形结合找到目标函数达到最值时可 行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整 点问题要验证解决．
解析：设 CG＝ x，矩形 CGPH 面积为 y. 2x－280 EN x－140 作 EN⊥PH 于点 N，则 ＝ ⇒EN＝ . 40 60 3 2x－280 760－2x ∴HC＝160－ ＝ . 3 3 760－2x 1 1 7602 72 200 y＝x· ＝ ·2x(760－2x)≤ ＝ . 3 6 6 2 3
解析：(1)解法一 由 a－|b|＞0，得 a＞ |b|， ∴－a＜b＜a，∴a＋b＞0 且 a－b＞0， ∴b－a＜0，A 错． a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) b 2 3 2 ＝(a＋b)a－2 ＋ b ＞0，∴B 错． 4 而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D 错．故选 C. 解法二(特殊值法) ∵a，b∈R 且 a－|b|＞0， ∴取 a＝2，b＝－1. 则 b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A 错． a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B 错． a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D 错．故选 C.
1 x 解析：(1)由题意，得 x· y＋ x· ＝8， 2 2 8 x ∴y＝ － .由 x>0，y>0，得 0<x<4 2. x 4 (2)设框架用料长度为 l(单位：米)，则 l＝2x＋2y＋ 2x＝
3 2＋ 16 2x＋ ≥4 x 3 当且仅当 2＋
6＋4 2＝8＋4 2.
解析：设公司每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，公 司共可获得利润为 z 元，则由已知，得 z＝300x＋400y， x＋2y≤12， 2x＋y≤12， 且 x≥0， y≥0， 画可行域(如图所示),
3 z 目标函数 z＝300x＋400y 可变形为 y＝－ x＋ ，这是 4 400 随 z 变化的一组平行直线．
(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、 基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等． (2)比较大小常利用： ①函数的单调性法； ②图 象法；③不等式的性质或基本不等式法；④作差法； ⑤特殊值法．
c c 1．设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：① ＞ ；②ac a b ＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是(D) A．① B．①② C．②③ D．①②③ c c 解析：由 a＞b＞1，c＜0 得 ＞ ，故①正确；由幂函数 a b 的单调性知： ac＜bc， 故②正确； 由对数函数的单调性知： logb(a －c)＞loga(b－c)，故③正确．故选 D.
当 2x＝760－2x⇒x＝190，即 CG 长为 190 m 时，最大面 72 200 2 积为 m. 3
1．应用均值不等式解题常用到“和定积最大，积定和 最小”，其解题步骤是“一正、二定、三相等”， “二定” 指含变数的两项的和(积)为常数， 合理拆添项或拼凑因式是 常用的技巧，而拆和凑的前提是要求等号能够成立． 2．当用均值不等式求最值取不到等号时，常利用函数 a y＝x＋ (a＞0)的单调性求解． x 1 3．注意函数 y＝x＋ (x＜0)的单调性及推导方法． x